次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle I=\int_0^\pi e^x \cos x \, dx$と$\displaystyle J=\int_0^\pi e^x \sin x \, dx$の値を求めよ．
(2)実数$a,\ b$が
\[ \int_0^\pi (a\cos x +b \sin x)^2 \, dx = 1 \]
をみたしながら動くとき
\[ \int_0^\pi (e^x-a\cos x-b \sin x)^2 \, dx \]
の最大値を求めよ．

$d$を正の定数とする．2点A$(-d,\ 0)$，B$(d,\ 0)$からの距離の和が$4d$である点Pの軌跡として定まる楕円$E$を考える．点A，点B，原点Oから楕円$E$上の点Pまでの距離をそれぞれAP，BP，OPと書く．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)楕円$E$の長軸と短軸の長さを求めよ．
(2)$\text{AP}^2+\text{BP}^2$および$\text{AP} \cdot \text{BP}$を，OPと$d$を用いて表せ．
(3)点Pが楕円$E$全体を動くとき，$\text{AP}^3+\text{BP}^3$の最大値と最小値を$d$を用いて表せ．

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上に，点Pがある．ただし，Pは第1象限の点である．点Pから$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をQ，線分PQを$2:1$に内分する点をRとする．$\theta=\angle \text{QOP}$のときの$\tan \angle \text{QOR}$と$\tan \angle \text{ROP}$の値をそれぞれ$f(\theta),\ g(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$と$g(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$g(\theta)$の$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\int_1^x (t^2-6t+8) \, dt$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 5$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_{x}^{x+3} (t^2-6t+8) \, dt=0$を満たす$x$の値を求めよ．

座標平面上の点$(1,\ 0)$をAとする．原点O$(0,\ 0)$を中心とし半径が1の円周上の2点P，Qは，$\displaystyle \angle \text{AOP}=\theta,\ \angle \text{AOQ}=\theta+\frac{\pi}{3},\ 0<\theta<\frac{2\pi}{3}$を満たす．また，点Pから$x$軸に引いた垂線と$x$軸の交点をBとし，点Cを四角形BPQCが平行四辺形になるように定める．ただし，点P，Qの$y$座標は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Cの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形BPQCの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$m$を自然数とする．$2^m!$が$2^n$で割り切れる自然数$n$の最大値を$N(m)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$N(5)$を求めよ．
(2)$N(m)$を$m$の式で表せ．
(3)$N(m)$が素数ならば，$m$も素数であることを証明せよ．

不等式$|x+2y|+|2x-y| \leqq 1$の表す領域を$D$とする．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$における$x-y$の最大値および最小値を求めよ．
(3)領域$D$における$|x|-|y|$の最大値および最小値を求めよ．

直線$\ell:y=x$上を動く点Pと，Pで$\ell$と接する円$C_1$を考える．Pの座標を$(t,\ t)$，$C_1$の中心の座標を$(a,\ b)$とする．ただし$t>0,\ a>b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)以下の(i)，(ii)に答えよ．

\mon[(i)] $a+b$を$t$を用いて表せ．
\mon[(ii)] $C_1$の半径を$a,\ b$を用いて表せ．

(2)中心が$(1,\ -1)$の円$C_2$も$\ell$と接しているとする．$C_1$が，さらに$C_2$に接しているとする．以下の(i)，(ii)に答えよ．

\mon[(i)] $(a+b)^2=8(a-b)$を示せ．
\mon[(ii)] $b$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$を用いて，$\sin \theta+\cos \theta$を$a\sin (\theta+b)$の形に表せ．ただし，$a>0, 0 \leqq b < 2\pi$とする．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta + \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin \theta \cdot \cos \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta \cdot \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(4)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$の最大値と最小値を求めよ．

ふたつの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi),\quad C_2:y=\sin x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
が囲む領域を$D$とする．ただし$D$は境界を含むものとする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求め，$D$の面積を求めよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y$の最大値と最小値を求めよ．