$k$を定数とする．関数$f(\theta)=\cos 2\theta+4k \sin \theta+3k-3$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \pi \right),\ f \left( \frac{3}{2} \pi \right)$を求めよ．
(2)$x= \sin \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表せ．
(3)$-1 \leqq k \leqq 1$のとき，$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(4)すべての$\theta$に対して常に$f(\theta) \leqq 0$となる$k$の値の範囲を求めよ．

$a$を，$a>0$かつ$a \neq 1$を満たす実数とし，
\[ F_a(x) = \int_0^x a^t \sin 2\pi t \, dt \quad (0 \leqq x \leqq 1) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)次式が成り立つことを示せ．
\[ F_a(x)=\frac{2\pi+a^x \{ (\log a) \sin 2\pi x - 2\pi \cos 2\pi x \}}{4\pi^2+(\log a)^2} \]
(2)$F_a(x)$の最大値を，$a$を用いて表せ．

$a$を実数とし，$f(x)=2x^3-3(a^2+a)x^2+6a^3x$とおく．次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(2a,\ f(2a))$における接線が，点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$において曲線$y=f(x)$と交わるとき，$a$が満たす条件を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．
(2)$0<a<1$のとき，$f(x)$の極大値と極小値の差を$g(a)$とおく．$g(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

実数$\displaystyle t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2} \right)$に対し，座標平面上の点P$(2t-5,\ 0)$とQ$(t,\ t^2)$を考える．

(1)放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq t$の部分と線分OPおよび線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，Oは原点を表す．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2}$の範囲を動くとき，(1)で求めた面積の最大値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，極値，および$y=f(x)$のグラフの凹凸，変曲点を調べよ．さらに，このグラフの概形を描け．
(2)$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1}f(t) \, dt$とおく．$F(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

空間内に4点O，A，B，Cがあり，次の条件を満たすものとする．
\[ \text{OA}=1,\ \text{OB}=1,\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{BOC}=\frac{\pi}{3},\ \angle \text{COA}=\frac{\pi}{4} \]
また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，Pは平面OAB上の点で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されているとする．点Pが$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする．したがって，$\text{CQ} \perp \text{OA},\ \text{CQ} \perp \text{OB}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}$と表したとき，$u,\ v$を求めよ．
(2)$(ⅰ)$ \ 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値をとるときの$x,\ y$の値，最小値をとるときの$x,\ y$の値をそれぞれ求めよ．\\
$(ⅱ)$ \ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値，最小値をとるときの点PをそれぞれP$_1$，P$_2$とおく．点P$_1$，P$_2$はいずれも直線OQ上にあることを示せ．ただし，Qは(1)で定めた点とする．

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2-1 \leqq 0 \\
x+y-1 \leqq 0 \\
x+2y-1 \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．$D$を図示せよ．また，その結果を用いて，点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くときの$2x+y$のとる値の最大値と最小値を求めよ．

次の空欄$[サ]$から$[ニ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$x$が範囲$0 \leqq x<2\pi$を動くとき，$x$の関数$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$を考える．
$X=\sin x$とおき，$f(x)$を$X$の関数と見て$g(X)$と書くと，
\[ g(X)=[サ]X^2+[シ]X+[ス] \]
と書ける．
$x$は$0 \leqq x<2\pi$を動くから，$X$は$[セ] \leqq X \leqq [ソ]$を動くが，この範囲では，グラフの形より，$g(X)$は$X=[タ]$のとき最小値$[チ]$をとり，$X=[ツ]$のとき最大値$[テ]$をとる．
したがって，$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$は$x=[ト]$のとき最小値$[チ]$をとり，$x=[ナ]$または$[ニ]$のとき最大値$[テ]$をとる．

関数$\displaystyle f(x)=\cos \frac{x^3-2x^2-4x+5}{3}$の$-1 \leqq x \leqq 3$における増減表を作り，最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．

区間$[-1,\ 1]$で，曲線$y=|x|e^{|x|}$と直線$\ell:y=a (0 \leqq a \leqq e)$の間にある部分の面積を$S$とする．

(1)曲線$y=xe^x (x \geqq 0)$と$\ell$の交点の$x$座標を$t$とし，$S$を$t$の式で表せ．
(2)$S$の最大値と最小値，およびそれらをとる$a$の値を求めよ．