次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)円$c_1:x^2+y^2-8x+6y-72=0$の中心を$\mathrm{A}(a,\ b)$，半径を$r$とするとき，$a=[　]$，$b=-[　]$，$r=\sqrt{[][]}$である．
円$c_2:x^2+y^2-2x+4y-35=0$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=\sqrt{[][]}$であり，円$c_1$が円$c_2$の接線から切りとる弦の長さの最大値は$[　] \sqrt{[][]}$である．

(2)$\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{6}$，$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{3}{8}$のとき，

$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=\frac{[　]}{[][]}$，$\displaystyle \cos (\alpha-\beta)=\frac{[　]}{[][]}$，

$\displaystyle \cos 2\alpha=\frac{[　]-[　] \sqrt{[][][]}}{72}$である．

$r$を$0<r<1$を満たす実数として，次のように行列とベクトルを定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
r & 0 \\
2r-1 & 1-r
\end{array} \right) ,\quad P=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \right) \]
またベクトル$Q_n=\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ Q_1=\left( \begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array} \right)=Q,\quad Q_n=AQ_{n-1}+P \quad (n \geqq 2) \]
として定める．

(1)$AP=\alpha P$，$AQ=\beta Q$を満たす定数$\alpha$，$\beta$を求めよ．
(2)$A^nP,\ A^nQ$を求めよ．
(3)$Q_n=\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)$を求めよ．
(4)座標平面において，各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し座標が$(a_n,\ 0)$である点を$X_n$，座標が$(a_n,\ b_n-a_n)$である点を$Y_n$とする．さらに，台形$X_nX_{n+1}Y_{n+1}Y_n$の面積を$S_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ S=\sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+ \cdots \]
とする．

(i) $S$を求めよ．
(ii) $r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$が，媒介変数$\theta$により
\[ p=1+2 \cos \theta,\quad q=1+\sin \theta \quad (-\pi<\theta \leqq \pi) \]
で与えられている．$a$を非負の定数とするとき，点$\mathrm{P}$から，原点$\mathrm{O}$と点$(1,\ a)$を通る直線に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし，$\mathrm{H}$の座標を$(u,\ v)$とする．点$\mathrm{P}$が$p \geqq 2$を満たす範囲にあるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\theta$と$q$の値の範囲を求めよ．
(2)$u$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$N=\sqrt{u^2+(2+a^2)v^2}$とおく．$N$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(4)各$a$に対して，点$\mathrm{P}$が$p \geqq 2$を満たすように動くとき，$(3)$で求めた$N$の最大値を$M(a)$により表す．

(i) $M(0)$を求めよ．
(ii) $a>0$のとき，$M(a)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，以下の問いに答えなさい．

(i) $a+b+c=10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ア][イ]$である．
(ii) $a+b+c \leqq 10,\ a \geqq 1,\ b \geqq 1,\ c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[ウ][エ][オ]$である．
(iii) $a+b+c \leqq 10,\ 7 \geqq a \geqq 1,\ 7 \geqq b \geqq 1,\ 7 \geqq c \geqq 1$を満たす整数解$a,\ b,\ c$の組の総数は$[カ][キ][ク]$である．

(2)$\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$を満たす$\triangle \mathrm{ABC}$について，以下の問いに答えなさい．

(i) 式$\displaystyle \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$がとりうる値の範囲は
\[ [ア]<\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}<[イ] \]
である．
(ii) $\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$のとき，
\[ \cos A=\frac{[ウ]+\sqrt{[エ][オ]}}{[カ]} \]
であり，
\[ \mathrm{BC}=-[キ]+\sqrt{[ク][ケ]} \]
である．

(3)座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$および放物線$C:y=-x^2+mx+1$（ただし，$m$は実数の定数）がある．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．

(i) 放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつのは，
\[ m<-\frac{[ア]}{[イ]},\quad m>\frac{[ウ]}{[エ]} \]
のときである．
以下，放物線$C$と直線$\ell$が$2$個の異なる共有点をもつ場合について考え，この$2$個の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(ii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$のすくなくとも一方が線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ m>\frac{[オ]}{[カ]} \]
のときである．
(iii) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がともに，線分$\mathrm{AB}$（端点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む）上にあるのは
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<m \leqq \frac{[ケ][コ]}{[サ]} \]
のときである．また，$m$がこの範囲内で動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは，
$\displaystyle m=\frac{[シ][ス]}{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]} \times \sqrt{[ツ]}$をとる．

放物線$y=ax^2-6x+7$と直線$y=bx+c$が$2$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ d)$で交わっている．$a,\ b,\ c,\ d$を定数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)この放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$1 \leqq x \leqq 4$の区間において放物線上を動くとき，$\triangle \mathrm{APB}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

以下の問の$[$50$]$～$[$63$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

関数$\displaystyle y=-4a \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \sin 2\theta-4 \cos 2\theta-6a \sin \theta+2a+10$がある．

(1)$3 \sin \theta-\cos \theta=t$とおくと，$y=t^2-[$50$]at+[$51$]$である．
(2)$a$の値の範囲が$-5<a<5$のとき，この関数の最大値$y_{\max}$のとりうる値の範囲は
\[ [$52$][$53$] \leqq y_{\max}<[$54$][$55$]+[$56$][$57$] \sqrt{[$58$][$59$]} \]
である．
(3)この関数の最小値が$-15$であるとき$\displaystyle a=\pm \frac{[$60$] \sqrt{[$61$][$62$]}}{[$63$]}$である．

関数$f(x)=x^2e^{-x}$に対し，以下の設問に答えよ．ここで$e$は自然対数の底を表す．

(1)$x \geqq 0$における$f(x)$の最大値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．

$xy=1000$，$x \geqq 10$，$\displaystyle y \geqq \frac{1}{10}$とする．

(1)$\log_{10}x$は，$x=\kakkofive{ア}{イ}{ウ}{エ}{オ}$のとき最大値$[カ]$をとる．
(2)$\log_{10}x \cdot \log_{10}y$は
\[ x=[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ]},\quad y=[サ][シ] \sqrt{[ス][セ]} \]
のときに最大値$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$をとり，
\[ x=\kakkofive{チ}{ツ}{テ}{ト}{ナ},\quad y=\frac{[ニ]}{[ヌ][ネ]} \]
のときに最小値$[ノ][ハ]$をとる．

実数$\theta$に対し，座標空間の2点A$(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$，B$(0,\ \sin 2\theta,\ \cos 2\theta)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)点A，Bと原点Oの3点は同一直線上にないことを示せ．
(2)三角形OABの面積$S$を$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値と最小値を求めよ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を入れよ．\\
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．