正の実数$a$に対し，
\[ f(x)=-x^2+2ax+a \quad (-1 \leqq x \leqq 1) \]
と定め，$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$M(a)$を求めよ．
(2)$\displaystyle L(a)=M(a)-\frac{a^3}{3} (a>0)$とする．$L(a)$の最大値を求めよ．

$f(x)=x^2+x+1$とおく．曲線$y=f(x)$に原点から引いた接線の方程式を$y=mx$，$y=m^\prime x (m<m^\prime)$とおく．また，それぞれの接点の$x$座標を$c,\ c^\prime$とおく．このとき，$c<0<c^\prime$である．実数$a$に対して連立不等式
\[ y \leqq f(x),\quad y \geqq mx,\quad y \geqq m^\prime x,\quad a \leqq x \leqq a+1 \]
の表す領域の面積を$S(a)$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)定数$m,\ m^\prime,\ c,\ c^\prime$を求めよ．
(2)$0<a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$c \leqq a \leqq 0$のとき，$S(a)$を求めよ．
(4)$c \leqq a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$の最大値と最小値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の式を展開せよ．
\[ (x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1) \]
(2)$m$は自然数である．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2mx+6m-8=0 \]
が，実数解を持たないとき，$m$の値を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq 360^\circ$において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
\[ y=2 \sin^2 \theta+\cos \theta-2 \]
(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_1^2 (3x^2+4x+2) \, dx \]
(5)大小$2$つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|a-b| \geqq 3$となる確率を求めよ．
(6)半径$r$の球の体積$\displaystyle V=\frac{4 \pi r^3}{3}$を，$r$で微分して，導関数$V^\prime$を求めよ．これは，半径$r$の球の何を表しているか．

$2$次関数や$3$次関数$y=f(x)$から新しい関数$F(x)$を次のように作る．

実数$x$に対して，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$をとり
\[ F(x)=\alpha-x \]
と定める．

例えば，$f(x)=x^2$の場合，実数$x$に対して$\alpha$の方程式$f(\alpha)=f(x)$は$\alpha^2=x^2$であり，$\alpha=\pm x$となる．したがって，その$2$つの$\alpha$のうち大きい方をとれば次を得る．

$x<0$のとき$\alpha=-x$により$F(x)=\alpha-x=-2x=2 |x|$
$x \geqq 0$のとき$\alpha=x$により$F(x)=\alpha-x=0$

以下では$f(x)=x^3-3b^2x (b>0)$に対して，上の操作で定めた関数$F(x)$を考える．

(1)$F(-b),\ F(0),\ F(b)$の値を求めよ．
(2)$F(x)=0$となる$x$の範囲を求めよ．また$F(x)>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(3)$F(x)>0$となる$x$に対し，$f(\alpha)=f(x)$を満たす最大の$\alpha$を$x$の式で表せ．
(4)関数$y=F(x)$を求め，そのグラフの概形をかけ．また$F(x)$の最大値を求めよ．

$xy$平面上で次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \log_2(2y+1)-1 \leqq \log_2x \leqq 2+\log_2y \leqq \log_2x+\log_2(4-2x) \]

(1)$D$は次の不等式
\[ x \leqq [ケ]y \leqq [コ]x^2+[サ]x \]
および
\[ y \leqq [シ]x+\frac{[ス]}{[セ]} \]
により定まる領域である．

(2)$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．

(3)$s<1$とし，点$(x,\ y)$が$D$上を動くとき，$y-sx$の最大値を$f(s)$とする．

(i) $[チ] \leqq s<1$のとき，$\displaystyle f(s)=[ツ]s+\frac{[テ]}{[ト]}$
(ii) $\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \leqq s<[チ]$のとき，
\[ f(s)=\frac{[ヌ]}{[ネ]}s^2+[ノ]s+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
(iii) $\displaystyle s<\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき，$\displaystyle f(s)=\frac{[フ]}{[ヘ]}s+\frac{[ホ]}{[マ]}$である．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$3$次式を$1$次式の積に因数分解せよ．
\[ x^3-2x^2-5x+6 \]
(2)$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2kx+3k-2=0 \]
が，相異なる$2$つの実数解を持つような，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x$の変域が$-1 \leqq x \leqq 2$であるときの$2$次関数
\[ y=2x^2-3x+1 \]
の最大値と最小値を求めよ．
(4)$5$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を一回ずつ使って$4$桁の数を作る．このとき$3215$以上の数はいくつあるか求めよ．
(5)$2^{1000}$は何桁の数になるか．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(6)図のような三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=5:6:4$である．このとき$\sin A:\sin B:\sin C$を整数比で表せ．

（図は省略）

以下の文章の空欄に適切な数，式または行列を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な行列が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．

(1)$a_1=1$，$a_2=4$，$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[あ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{C}(1,\ 0)$はそれぞれ点$\mathrm{B}^\prime$と点$\mathrm{C}^\prime$に移されるとする．また$\mathrm{O}(0,\ 0)$を原点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，かつ$\triangle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{C}^\prime$が正三角形となるような行列$A$をすべて求めると$A=[い]$である．
(3)媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle \frac{e^t+3e^{-t}}{2} \\ \\
y=e^t-2e^{-t}
\end{array} \right. \]
と表される曲線$C$の方程式は
\[ [う]x^2+[え]xy+[お]y^2=25 \]
である．
また曲線$C$の接線の傾きは，$t=[か]$に対応する点において$-2$となる．
(4)$\alpha>1$を実数とする．$0 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数$f(x)=x-x^\alpha$が最大値をとる点を$x(\alpha)$とすると$x(\alpha)=[き]$である．また$\displaystyle \lim_{\alpha \to 1+0} x(\alpha)=[く]$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

$xy$平面上で点$\mathrm{P}$は$x$軸上に，点$\mathrm{Q}$は$y$軸上に置かれ，点$\mathrm{P}$の$x$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標はそれぞれ$-2$以上$2$以下の整数であるとする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して次の操作を考える．
\begin{screen}
{\bf 操作} \\
点$\mathrm{P}$の座標が$(i,\ 0)$，点$\mathrm{Q}$の座標が$(0,\ j)$であるとき次の規則に従って$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を互いに独立に同時に処理する．

\mon[$(\mathrm{P}1)$] $-1 \leqq i \leqq 1$ならば点$\mathrm{P}$を$(i+1,\ 0)$または$(i-1,\ 0)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{P}2)$] $i=-2$ならば点$\mathrm{P}$を必ず$(-1,\ 0)$に移す．
\mon[$(\mathrm{P}3)$] $i=2$ならば点$\mathrm{P}$をそのままにしておく．
\mon[$(\mathrm{Q}1)$] $-1 \leqq j \leqq 1$ならば点$\mathrm{Q}$を$(0,\ j+1)$または$(0,\ j-1)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{Q}2)$] $j=-2$ならば点$\mathrm{Q}$を必ず$(0,\ -1)$に移す．
\mon[$(\mathrm{Q}3)$] $j=2$ならば点$\mathrm{Q}$をそのままにしておく．

\end{screen}
さて，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている状態から始め，上の操作を$3$回繰り返し行う．

(1)$3$回の操作の後，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0)$に置かれている確率は$[あ]$であり，$(-1,\ 0)$に置かれている確率は$[い]$である．
(2)$xy$平面上で不等式$y>x$の表す領域を$A$，不等式$y>-x$の表す領域を$B$とする．各回の操作後に点$\mathrm{P}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$U$とし，各回の操作後に点$\mathrm{Q}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$V$とすると，事象$U \cup V$の確率は$[う]$である．
$xy$平面上で$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を結ぶ線分の長さを$\mathrm{PQ}$とする．ただし$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている場合は$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$3$回の操作を通じてちょうど$1$回だけ$\mathrm{PQ}=\sqrt{2}$となる確率は$[え]$である．
(4)$3$回の操作を通じた$\mathrm{PQ}$の最大値の期待値は$[お]$である．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がゲームをして，先に$3$勝した方が優勝する．各回のゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率を$\sin^2 \theta$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$\cos^2 \theta$とする．$t=\cos 4\theta$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)ちょうど$3$回目のゲームで優勝が決まる確率を$t$の$1$次式で表せ．
(2)ちょうど$4$回目のゲームで優勝が決まる確率$p(\theta)$を$t$の$2$次式で表せ．
(3)確率$p(\theta)$の最大値を求めよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な$t$の値が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．

放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{P}(-1,\ 1)$をとり，$\mathrm{P}$における$C$の法線と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．また$t$を実数として，点$\mathrm{P}$をとおって傾きが$t$の直線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}$をとおって$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標は$([あ],\ [い])$である．
(2)点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$と異なるように$t$を変化させるときの$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値は$[う]$である．また$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を最大にする$t$の値をすべて求めると$t=[え]$である．
(3)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とは異なる$C$上の点$\mathrm{T}(u,\ u^2)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{TP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{TQ}}<0$となるような$u$の範囲は
\[ [お]<u<[か] \]
である．
(4)点$\mathrm{R}$が，不等式$y<x^2$の表す領域に入るような$t$の範囲は
\[ [き]<t<[く] \]
である．