実数$a$に対して関数$f(a)$を，
\[ f(a) = \int_1^2 \left|\frac{a}{x}-1\right|\, dx \]
と定める．$a$が$1 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$f(a)$の最小値は$[ナ]+[ニ]\sqrt{[ヌ]}$であり，最大値は$[ネ]+[ノ]\log [ハ]$である．ただし，[ヌ]，[ハ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)次の等式
\[ \log_3x - \frac{1}{\log_9x} = (-1)^x \]
を満たす正の整数$x$の値は$[ア]$である
(2)定数関数でない関数$f(x)$が
\[ f(x) = x^2 - \int_0^1 (f(t)+x)^2dt \]
を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
(3)$0<\theta \leqq 180^\circ$とする．数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1 = \cos\theta, \quad a_{n+1}= a_n^2-1 \]
このとき，$a_4 = a_5$となる$\cos\theta$の最大値は$[ウ]$である．
(4)体積が$1$の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積は$[エ]$である．

平面上に点$\mathrm{O},\ \mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \cdots,\ \mathrm{A}_{100}$がある．ただし，同じ点があってもよい．また，平面上の点$\mathrm{P}$に対して，
\[ f(P) = \sum_{i=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{PA}}_i|^2 \]
とする．また，$f(\mathrm{P})$の最小値を$m$とし，平面上の点$\mathrm{C}$は$f(\mathrm{C})=m$を満たすとする．
このとき，次の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a_i}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 100)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a_i}$を用いて表せ．
(2)次の条件
\[ (*) \qquad \sum_{i=1}^{100} \left( \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_i \mathrm{A}_j}|^2 \right) = \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_j}|^2 + \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_j}|^2 + \cdots+ \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_{100} \mathrm{A}_j}|^2=4000 \]
が成立しているときの$m$の値を求めよ．
(3)(2)における条件$(*)$が成立しているとき，集合
\[ \left\{A_i \ \; \bigg| \ \; |\overrightarrow{\mathrm{CA}_i}| \geqq 2,\ 1 \leqq i \leqq 100,\ i \text{は整数} \right\} \]
の要素の個数の最大値を求めよ．

次の空欄に当てはまる数字を書け．

(1)$\mathrm{A}$の袋には赤玉$1$個と黒玉$15$個，$\mathrm{B}$の袋には黒玉$16$個が入っている．それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出して交換する，という試行を$n$回繰り返したとき，赤玉が$\mathrm{A}$の袋に入っている確率を$p_n$とする．ただし，$n$は自然数である．例えば，
\[ p_1 = \frac{[$1$][$2$]}{[$3$][$4$]},\ p_2 = \frac{[$5$][$6$][$7$]}{[$8$][$9$][$10$]} \]
である．$p_{n+1}$を$p_n$で表すと，$p_{n+1}=\displaystyle\frac{[$11$]}{[$12$]}p_n+\displaystyle\frac{[$13$]}{[$14$][$15$]}$となるので，これより
\[ p_n = \frac{[$16$]}{[$17$]}\left\{1+\left(\frac{[$18$]}{[$19$]}\right)^n\right\} \]
と求まる．
(2)赤玉$7$個，白玉$10$個，青玉$n$個が入った袋から，同時に$4$個の玉を取り出すとき，それらが赤玉$1$個，白玉$2$個，青玉$1$個である確率を$q_n$とする．ただし，$n$は自然数である．$\displaystyle\frac{q_{n+1}}{q_n}$を$n$の式で表すと，
\[ \frac{q_{n+1}}{q_n} = \frac{n^2+[$20$][$21$]n+[$22$][$23$]}{n^2+[$24$][$25$]n} \]
となる．これより$n \leq [$26$]$の範囲で$q_n < q_{n+1}$が成り立ち，また，$n \geq [$27$]$の範囲で$q_n > q_{n+1}$が成り立つことがわかる．従って，$q_n$は$n= [$28$]$で最大値$\displaystyle\frac{[$29$][$30$]}{[$31$][$32$][$33$]}$をとる．

$a>0$とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x) = x^3 -5ax^2 + 7a^2x \]
と定める．また，$t \geqq 0$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す．

(1)$S(0)=[ト]$である．
(2)$f(x)$は$x=[ナ]$で極小値をとる．曲線$y=f(x)$上にあり，$x$の値$[ナ]$に対応する点を$\mathrm{P}$とする．$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=[ニ] \ (x>0)$である．
(3)$S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$[ヌ]$となる．以下，$a$の値はこの範囲にあるとする．$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする．区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)$，$m(a)$とするとき，$M(a)+m(a)=[ネ]$となる．

関数$f(x)=x(x-1)(x-3)(x-4)$は$0 \leq x \leq 4$の範囲において，
$x=[$35$]$で最大値[$36$]をとり，$x=\displaystyle\frac{[$37$]\text{±}\sqrt{[$38$][$39$]}}{[$40$]}$
で最小値$-\displaystyle\frac{[$41$]}{[$42$]}$をとる．

次の各問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$において
\[ y= \sin x + 2 \cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \]
の最大値は$\sqrt{[ア]}$であり，最小値は$-\sqrt{[イ]}$である．
(2)$xy = 4x -y+28$を満たす正の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$は全部で[ウ]組ある．
(3)放物線$y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2$は，$x$軸方向に[エ]，$y$軸方向に$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ]}$だけ平行移動すると，直線$y=-x$と直線$y=3x$の両方に接する．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+xy+2y^2=1$を満たすとき，$y^2$がとり得る値の範囲は
\[ [キ] \leqq y^2 \leqq \frac{[ク]}{[ケ]} \]
である．

次の各設問の$[12]$から$[15]$までの空欄に適するものを書け．また，$[　]$には数字を入れよ．

$xy$平面上で連立不等式$3x-y+1 \geqq 0,\ x+3y-3 \geqq 0,\ 2x+y-6 \leqq 0$の表す領域を$D$とする．
(1)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$3x+2y$の最大値は$[12]$であり，最小値は$[13]$である．
(2)領域$D$は三角形である．この三角形の外接円の中心の座標は$([14],\ [15])$であり，半径は$[　]$である．

次の文章中の$[ア]$から$[ラ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めて記入せよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係式を満たすとする．
\[ a_1=0, \quad \left\{ \begin{array}{l}
b_n=\displaystyle\frac{1}{5}a_n+1 \\
a_{n+1}=3b_n+2
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_1 = [ア]$で，$n \geq 1$に対して$b_{n+1} = \displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]} b_n + \frac{[エ]}{[オ]}$となる．これより，
\[ b_n = \displaystyle\frac{[カ]}{[キ]} - \frac{[ク]}{[ケ]} \left(\frac{[コ]}{[サ]} \right)^{n-1} \quad (n \geq 1) \]
となるので，
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{[シ]}{[ス]}, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{b_{2n}-b_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{[セ]}{[ソ]} \]
となる。また，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{2n}-a_n) = \frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト]} \]
である．
(2)複素数$z = \cos\theta + i\sin\theta (0 \leq \theta<2\pi)$に対して，複素数$\omega$を
\[ \omega = (4+3i)z + 6i\,\overline{z} \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位を，$\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$は$z$と共役な複素数を表す．
いま$z$の実部と虚部がともに$0$以上となる範囲で$\theta$を動かす．このとき，$\omega$の実部の最大値は[ナ]，最小値は[ニ]であり，$\omega \overline{\omega}$の最大値は[ヌ][ネ][ノ]，最小値は[ハ][ヒ]である．ただし，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数を表す．

(3)$x>0$で定義された微分可能な関数$f(x)$が，
\[ f^\prime(x) = 2\log x + \frac{1}{7-2e} \int_1^{e} \frac{f(t)}{t}\, dt, \quad f(1)=0 \]
を満たすとする．ここで，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．$f(x)$を求めると，
\[ f(x) = [フ] x\log x - \frac{[ヘ]}{[ホ]} x + \frac{[マ]}{[ミ]} \quad (x>0) \]
となる．関数$f(x)$は$\displaystyle x=e^{-\frac{[ム]}{[メ]}}$のとき，最小値
\[ -[モ]e^{-\frac{[ヤ]}{[ユ]}} + \frac{[ヨ]}{[ラ]}\]
をとる。

次の各問の$[　]$にあてはまる数または式を入れよ．

(1)$\sin \theta + \cos \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta = - \displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．　　　　　
(2)不等式$|5x-41|<2x+1$を満たす整数$x$の最大値は[ア][イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)$(x-3y+z)^6$の展開式における，$x^2y^2z^2$の項の係数は[ア][イ][ウ]である．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$2$辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とする．このとき，

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=[ア]$となる．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} = [イ]\overrightarrow{\mathrm{MN}}$である．