$f(x)=\log_2 (x-1)+\log_2 (4-x)$とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)不等式$f(x) \geqq 0$を解け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$m$とするとき，$2^{m-2}$を求めよ．
(4)(3)の$m$について，$1000^m$の整数部分の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

関数
\[ y=4 \cos x \sin 2x -3\sqrt{3} \cos 2x -8 \sin x + \sqrt{3} \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$t = \sin x$とおき，$y$を$t$の関数として表せ．
(2)$0 \leqq x < 2 \pi$のとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値，および，$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)加法定理を用いて，$\cos 2x$および$\cos 3x$を$\cos x$で表せ．
(2)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，関数$f(x)=\cos 3x+\cos 2x-2\cos x$の最大値および最小値を求めよ．

長さ1の線分ABを直径とする円周上の点をPとするとき，次の問いに答えよ．ただし，PはA，Bとは異なるものとする．

(1)$\angle \text{PAB}=\theta$とするとき，線分AP，BPの長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)PからABに下ろした垂線とABとの交点をCとする．$\triangle$APCと$\triangle$BPCの周の長さの和$L$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$L$の最大値を求め，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$n \geqq 4$とする．$(n-4)$個の1と4個の$-1$からなる数列$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)このような数列$\{a_k\}$は何通りあるか求めよ．
(2)数列$\{a_k\}$の初項から第$k$項までの積を$b_k=a_1a_2 \cdots a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$とおく．$b_1+b_2+\cdots +b_n$がとり得る値の最大値および最小値を求めよ．
(3)$b_1+b_2+\cdots +b_n$の最大値および最小値を与える数列$\{a_k\}$はそれぞれ何通りあるか求めよ．

点$(a,\ b)$は円周$x^2+y^2=1$上を動くとする．

(1)$t=a+b$とおくとき，$a+ab+b$を$t$の式で表せ．
(2)$a+ab+b$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$t=a+b$の値をそれぞれ求めよ．

$xy$平面において，長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を点$\mathrm{A}$が原点，点$\mathrm{B}$が点$(1,\ 0)$に重なるように置く．点$\mathrm{A}$を$y$軸に沿って点$(0,\ 1)$まで移動させ，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$に保ったまま点$\mathrm{B}$を$x$軸に沿って原点まで移動させる．このとき線分$\mathrm{AB}$が通る領域を$D$とする．$0 \leqq x \leqq 1$となる実数$x$に対して，点$(x,\ y)$が領域$D$に含まれるような$y$の最大値を$f(x)$とする．

(1)$f(x)$を$x$の式で表せ．
(2)領域$D$を$x$軸を中心に回転させた立体の体積$V$を求めよ．

$a^2+b^2=1$を満たす正の実数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を$S$とする．$S$に含まれる$(a,\ b)$に対し，$xyz$空間内に3点P$(a,\ b,\ b)$，Q$(-a,\ b,\ b)$，R$(0,\ 0,\ b)$をとる．また原点をOとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)三角形OPQを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_1$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_1$の体積の最大値を求めよ．
(2)三角形PQRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_2$とする．$\displaystyle a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$F_2$の$xy$平面による切り口の周を$xy$平面上に図示せよ．
(3)三角形OPRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_3$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_3$の体積の最大値を求めよ．

$n$を自然数とする．袋の中に$n$枚のカードが入っていて，それらに$1$から$n$までの自然数がひとつずつ書かれている．袋からカードを$1$枚取り出し，書かれている数を記録し，カードを袋に戻すという試行を$3$回繰り返す．$3$回の試行で記録された数の最大値を$X$とするとき，$X$の期待値を求めよ．

$\alpha>1,\ x>0$とする．Oを原点とする座標平面上に3点A$(0,\ 1)$，B$(0,\ \alpha)$，P$(\sqrt{x},\ 0)$がある．次に答えよ．

(1)$\sin \angle \text{OPB}$と$\sin \angle \text{APB}$を$\alpha$と$x$を用いて表せ．
(2)$\sin \angle \text{APB}$を$x$の関数と考え，その関数を$f(x)$とおく．$f(x)$の最大値を$\alpha$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた最大値が$\displaystyle \frac{1}{2}$となる$\alpha$を求めよ．