$xy$平面上に，点$(0,\ 1)$を通り，傾きが$k$の直線$\ell$がある．

(1)$xy$平面において，$\ell$に関して点P$(a,\ b)$と対称な点をQ$(s,\ t)$とする．このとき，$a,\ b,\ k$を用いて$s,\ t$を表せ．ただし，点P$(a,\ b)$は$\ell$上にないとする．
(2)$xy$平面において，$\ell$に関して原点O$(0,\ 0)$と対称な点をAとする．$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くとき，線分OAの長さの最大値と最小値を求めよ．
(3)$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くときの点Aの軌跡を$C$とする．$C$と直線$y=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$n$を2以上の整数とする．1から$n$までの整数が1つずつ書かれている$n$枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．この$n$枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値を$X$，最大値を$Y$とする．次の問に答えよ．ただし，$j$と$k$は正の整数で，$j+k\leqq n$を満たすとする．また，$s$は$n-1$以下の正の整数とする．

(1)$X \geqq j$かつ$Y \leqq j+k$となる確率を求めよ．
(2)$X=j$かつ$Y=j+k$となる確率を求めよ．
(3)$Y-X=s$となる確率を$P(s)$とする．$P(s)$を求めよ．
(4)$n$が偶数のとき，$P(s)$を最大にする$s$を求めよ．

$xy$平面上で考える．不等式$y < -x^2+16$の表す領域を$D$とし，不等式$|x-1|+|y| \leqq 1$の表す領域を$E$とする．このとき，以
下の問いに答えよ．

(1)領域$D$と領域$E$をそれぞれ図示せよ．
(2)A$(a,\ b)$を領域$D$に属する点とする．点A$(a,\ b)$を通り傾きが$-2a$の直線と放物線$y=-x^2+16$で囲まれた部分の面積を$S(a,\ b)$とする．$S(a,\ b)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点A$(a,\ b)$が領域$E$を動くとき，$S(a,\ b)$の最大値を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数
\[ f(\theta) = 4\cos 2\theta \sin \theta + 3\sqrt{2} \cos 2\theta -4\sin \theta \]
を考える．

(1)$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta)$を$x$で表せ．
(2)$f(\theta)$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)方程式$f(\theta) = k$が相異なる3つの解をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．

(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

$xy$平面上に曲線$C:y=x^2-x$と直線$\ell:y=x$がある．

(1)$\ell$上の点$\mathrm{P} \displaystyle \left( \frac{t}{\sqrt{2}},\ \frac{t}{\sqrt{2}}\right) (0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2})$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．$m$と$C$の共有点のうち，$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$t$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた部分を$\ell$を軸として$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$a$を正の実数とする．$2$つの放物線
\[ y=\frac{1}{2}x^2-3a \]
\[ y= -\frac{1}{2}x^2 +2ax -a^3 -a^2 \]
が異なる$2$点で交わるとし，$2$つの放物線によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

実数$t$は$0<t<1$を満たすとし，座標平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(t,\ 0)$を考える．また線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を$\angle \mathrm{ACO}=\angle \mathrm{BCD}$となるように定める．$t$を動かしたときの三角形$\mathrm{ACD}$の面積の最大値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq \pi$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos |t-x|}{1+\sin |t-x|} \, dt\]
と定める．$f(x)$の$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

$xy$平面上に$n$個の点P$_k(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$がある．
\[ a=\sum_{k=1}^n x_k^2, \quad b=\sum_{k=1}^n y_k^2, \quad c= \sum_{k=1}^n x_ky_k \]
とおく．さらに，P$_k$と直線$\ell: x\cos \theta + y\sin \theta = 0$の距離を$d_k$とし，
\[ L = \sum_{k=1}^n d_k^2 \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$L$を$a,\ b,\ c,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta < \pi$の範囲を動くとき，$L$の最大値と最小値を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$a \neq b$または$c \neq 0$のとき，$L$を最大にする$\ell$を$\ell_1$，最小にする$\ell$を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$は直交することを示せ．