座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$とする．原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し，$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ．
(2)$\theta$を固定し$b=1$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．
(4)(2)において，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする．面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ．

$\displaystyle y=x^2-4x+5+\frac{1}{x^2-4x+5}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle \frac{3}{2} \leqq x \leqq 3$とする．

(1)$y$の最大値$M$と最小値$m$の値を求めよ．
(2)$t=x^2-4x+5$とおくとき，$\displaystyle z=t^3-6t^2+12t-12+\frac{12}{t}-\frac{6}{t^2}+\frac{1}{t^3}$を$y$を用いて表せ．
(3)$z$の最大値$N$と最小値$n$の値を求めよ．
(4)$K(\log_{64}M+\log_{64}m-\log_{64}N-\log_{64}n)=1$をみたす自然数$K$の値を求めよ．

関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x (0 \leqq x<2\pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x+\cos x$として，$\sin x \cos x$と$y$をそれぞれ$t$の関数で表せ．
(2)(1)で定めた$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最大値と最小値，および，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

曲線$7x^2+2 \sqrt{3}xy+9y^2=30$上の点$(x,\ y)$に対して，変換
\[ \left\{ \begin{array}{l}
X=x \cos \theta-y \sin \theta \\
Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を考える（ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする）．このとき$X,\ Y$のみたす式は
\[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \]
となる．ただし，$a(\theta)$，$b(\theta)$，$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする．

(1)$\theta_1$を求めよ．
(2)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．

関数$f(x)=x \cos x-\sin x$を区間$I:\pi \leqq x \leqq 3\pi$で考える．

(1)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(2)区間$I$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．区間$I$において$f(x)=0$をみたす$2$点を$x=s,\ t$とする．ただし$s<t$とする．
(3)$s$と$t$は，それぞれ次の$4$つの区間

$\displaystyle \pi \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi,\quad \frac{3}{2}\pi \leqq x \leqq 2\pi,$

$\displaystyle 2\pi \leqq x \leqq \frac{5}{2}\pi,\quad \frac{5}{2}\pi \leqq x \leqq 3\pi$

のどれに入るか．
(4)$x$軸の$4\pi-t \leqq x \leqq 2\pi$の部分，直線$x=4\pi-t$，直線$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S$とする．また，$x$軸の$2\pi \leqq x \leqq t$の部分，$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S$と$T$の大小を比較せよ．

関数$f(x)$を，
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
2x+1 & \displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \\
2x+\sin x & \displaystyle \left( x \geqq \frac{\pi}{2} \right) \phantom{\frac{[ア]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定め，関数$g(x)$を，$g(x)=f(2x)-2f(x) (0 \leqq x \leqq 2\pi)$と定める．

(1)関数$g(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C:y=g(x)$の概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(3)区間$[0,\ 2\pi]$で，曲線$C$と$x$軸の間にある部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$xy$平面上に$7$点$\mathrm{A}(-4,\ 1)$，$\mathrm{B}(-5,\ 0)$，$\mathrm{C}(-3,\ 0)$，$\mathrm{D}(-2,\ 1)$，$\mathrm{E}(0,\ 2)$，$\mathrm{F}(0,\ 0)$，$\mathrm{G}(2,\ 0)$がある．四角形$\mathrm{ABCD}$は右へ，三角形$\mathrm{EFG}$は左へ，それぞれ$x$軸に平行に毎秒$0.5$の速さで移動する．移動開始から$t$秒後の状況について，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{F}$が$t_1$秒後に点$\mathrm{C}$と，$t_2$秒後に点$\mathrm{B}$と一致した．$t_1$と$t_2$の値を求めよ．
(2)$t_1<t<t_2$とする．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$と三角形$\mathrm{EFG}$の重なる部分の面積$S$を$t$を用いて表し，$S$の最大値を求めよ．

$2$次関数$f(x)=-x^2-2x+1$，$g(x)=-2x^2+px+q$について，以下の設問に答えよ．ただし，$g(1)=-2$，$g(-1)=0$であり，$p,\ q$は実数の定数とする．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)$f(x)<g(x)$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$h(x)$を次のように定義する．

$f(x) \geqq g(x)$の場合は$h(x)=f(x)$
$f(x)<g(x)$の場合は$h(x)=g(x)$

次に，正の実数$k$に対して$M(k)$と$m(k)$を次のように定義する．

$M(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最大値
$m(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最小値
(i) $M(2)$と$m(2)$の値を求めよ．
(ii) $M(k)$と$m(k)$の値を$k$を用いて表せ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=ae^{-ax}$とする．ただし，$e$を自然対数の底とする．原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$における接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)接線$\ell$の方程式と$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)$s$の値が$s \geqq 0$の範囲で変化するとき，三角形$\mathrm{ROQ}$の面積$T(s)$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．