「最大値」について
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私立 九州産業大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3+\sqrt{2}$の小数部分を$a$とするとき，次の計算をせよ．
(i) $\displaystyle a+\frac{1}{a}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(ii) $\displaystyle a^3-\frac{1}{a^3}=[ウエオ]$である．
(2)方程式$8 \cdot 4^x-129 \cdot 2^x+16=0$の解は$x=[カキ]$と$x=[ク]$である．
(3)$3$点$(0,\ 0)$，$(\cos {30}^\circ,\ \sin {30}^\circ)$，$(\sqrt{2} \cos \alpha,\ \sqrt{2} \sin \alpha)$を頂点とする三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき$\alpha$の値は$[ケコ]^\circ$である．ただし${30}^\circ<\alpha \leqq {90}^\circ$とする．
(4)点$\mathrm{P}$が$xy$平面の原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げ，表が出たならば点$\mathrm{P}$を$x$軸方向に$1$だけ動かし，裏が出たならば点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$1$だけ動かす．コインを$5$回投げたときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とする．
(i) $x$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ]$である．
(ii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる場合の数は$[スセ]$通りである．
(iii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．
(1)$3+\sqrt{2}$の小数部分を$a$とするとき，次の計算をせよ．
(i) $\displaystyle a+\frac{1}{a}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(ii) $\displaystyle a^3-\frac{1}{a^3}=[ウエオ]$である．
(2)方程式$8 \cdot 4^x-129 \cdot 2^x+16=0$の解は$x=[カキ]$と$x=[ク]$である．
(3)$3$点$(0,\ 0)$，$(\cos {30}^\circ,\ \sin {30}^\circ)$，$(\sqrt{2} \cos \alpha,\ \sqrt{2} \sin \alpha)$を頂点とする三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき$\alpha$の値は$[ケコ]^\circ$である．ただし${30}^\circ<\alpha \leqq {90}^\circ$とする．
(4)点$\mathrm{P}$が$xy$平面の原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げ，表が出たならば点$\mathrm{P}$を$x$軸方向に$1$だけ動かし，裏が出たならば点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$1$だけ動かす．コインを$5$回投げたときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とする．
(i) $x$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ]$である．
(ii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる場合の数は$[スセ]$通りである．
(iii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．
私立 九州産業大学 2013年 第3問関数$f(x)=|x^2-2x-3|$と，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=x+1$について考える．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の$x$座標は，小さい順に$[アイ]$，$[ウ]$である．
(2)関数$f(x)$の$-2 \leqq x \leqq 2$における最大値は$[エ]$であり，最小値は$[オ]$である．
(3)曲線$C$と$x$軸により囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(4)曲線$C$と直線$\ell$との交点の$x$座標は，小さい順に$[ケコ]$，$[サ]$，$[シ]$である．
(5)曲線$C$と直線$\ell$により囲まれた$2$つの部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソ]}$である．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の$x$座標は，小さい順に$[アイ]$，$[ウ]$である．
(2)関数$f(x)$の$-2 \leqq x \leqq 2$における最大値は$[エ]$であり，最小値は$[オ]$である．
(3)曲線$C$と$x$軸により囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(4)曲線$C$と直線$\ell$との交点の$x$座標は，小さい順に$[ケコ]$，$[サ]$，$[シ]$である．
(5)曲線$C$と直線$\ell$により囲まれた$2$つの部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソ]}$である．
私立 桜美林大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x$についての不等式$\displaystyle \frac{2x-a}{3}<\frac{x-3}{2}$をみたす最大の整数が$3$となるような実数の定数$a$がとり得る値の範囲を次の$①$～$⑤$から選ぶと$[ア]$である．
\[ ① 6<a \quad ② 6 \leqq a \quad ③ 6<a<\frac{13}{2} \quad ④ 6 \leqq a<\frac{13}{2} \quad ⑤ 6<a \leqq \frac{13}{2} \]
(2)$1000$以下の自然数で，$3$または$5$で割りきれる数は$[イ][ウ][エ]$個であり，そのうち偶数でないものは$[オ][カ][キ]$個ある．
(3)$2$つの方程式$x^2-2ax+2a^2+a-2=0$と$x^2+(2a+2)x-a+1=0$がともに実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ク] \leqq a \leqq [ケ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=4 \sin x+3 \cos x$の最小値は$[コ]$であり，$y$の最大値を与える$x$の値を$\theta$とすると，$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]}$である．
(5)$x$の関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^1 xtf(t) \, dt+2$を満たすとき，$\displaystyle f(x)=\frac{[ソ]}{[タ]}x+[チ]$である．
(1)$x$についての不等式$\displaystyle \frac{2x-a}{3}<\frac{x-3}{2}$をみたす最大の整数が$3$となるような実数の定数$a$がとり得る値の範囲を次の$①$～$⑤$から選ぶと$[ア]$である．
\[ ① 6<a \quad ② 6 \leqq a \quad ③ 6<a<\frac{13}{2} \quad ④ 6 \leqq a<\frac{13}{2} \quad ⑤ 6<a \leqq \frac{13}{2} \]
(2)$1000$以下の自然数で，$3$または$5$で割りきれる数は$[イ][ウ][エ]$個であり，そのうち偶数でないものは$[オ][カ][キ]$個ある．
(3)$2$つの方程式$x^2-2ax+2a^2+a-2=0$と$x^2+(2a+2)x-a+1=0$がともに実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ク] \leqq a \leqq [ケ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=4 \sin x+3 \cos x$の最小値は$[コ]$であり，$y$の最大値を与える$x$の値を$\theta$とすると，$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]}$である．
(5)$x$の関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^1 xtf(t) \, dt+2$を満たすとき，$\displaystyle f(x)=\frac{[ソ]}{[タ]}x+[チ]$である．
私立 桜美林大学 2013年 第4問$0$，$1$，$2$，$3$，$4$の数字が$1$つずつ書かれたカードが$2$枚ずつ合計$10$枚ある．この中から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問に答えなさい．
(1)取り出したカードを並べて$3$桁の自然数をつくるとき，$213$以下となるものは$[ル][レ]$個ある．
(2)取り出したカードの中に$0$のカードが含まれている確率は$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワ][ヲ]}$である．
(3)取り出したカードの数字がいずれも$3$以下である確率は$\displaystyle \frac{[ガ]}{[ギ][グ]}$である．
(4)取り出したカードの数字の最大値が$3$である確率は$\displaystyle \frac{[ゲ]}{[ゴ][ザ]}$である．
(1)取り出したカードを並べて$3$桁の自然数をつくるとき，$213$以下となるものは$[ル][レ]$個ある．
(2)取り出したカードの中に$0$のカードが含まれている確率は$\displaystyle \frac{[ロ]}{[ワ][ヲ]}$である．
(3)取り出したカードの数字がいずれも$3$以下である確率は$\displaystyle \frac{[ガ]}{[ギ][グ]}$である．
(4)取り出したカードの数字の最大値が$3$である確率は$\displaystyle \frac{[ゲ]}{[ゴ][ザ]}$である．
私立 大阪工業大学 2013年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である．
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される．ただし，$0<[ウ]<2\pi$とする．また，$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は，$\theta=[エ]$である．
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$，$y \geqq 0$を同時に満たすとき，$y-x$の最小値は$[オ]$であり，最大値は$[カ]$である．
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から，同時に$2$枚のカードを引く．このとき，カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり，$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である．
(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である．
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される．ただし，$0<[ウ]<2\pi$とする．また，$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は，$\theta=[エ]$である．
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$，$y \geqq 0$を同時に満たすとき，$y-x$の最小値は$[オ]$であり，最大値は$[カ]$である．
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から，同時に$2$枚のカードを引く．このとき，カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり，$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である．
私立 大阪工業大学 2013年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である．
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される．ただし，$0<[ウ]<2\pi$とする．また，$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は，$\theta=[エ]$である．
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$，$y \geqq 0$を同時に満たすとき，$y-x$の最小値は$[オ]$であり，最大値は$[カ]$である．
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から，同時に$2$枚のカードを引く．このとき，カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり，$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である．
(1)$2$次方程式$x^2-16x+4=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}=[ア]$であり，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}}=[イ]$である．
(2)三角関数の合成により$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin (\theta+[ウ])$と表される．ただし，$0<[ウ]<2\pi$とする．また，$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2$を満たす$\theta$は，$\theta=[エ]$である．
(3)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y^2 \leqq 1$，$y \geqq 0$を同時に満たすとき，$y-x$の最小値は$[オ]$であり，最大値は$[カ]$である．
(4)$1$から$15$までの数を$1$つずつ書いた$15$枚のカードの中から，同時に$2$枚のカードを引く．このとき，カードの数がどちらも偶数である確率は$[キ]$であり，$2$枚のカードの数の積が$7$の倍数である確率は$[ク]$である．
私立 広島工業大学 2013年 第3問$a,\ b$を定数とする．$3$次関数$f(x)=ax^2(x-3)+b$の区間$0 \leqq x \leqq 3$における最大値が$1$で最小値が$-1$のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
私立 広島工業大学 2013年 第8問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=5$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上の点$\mathrm{P}$が，頂点$\mathrm{C}$を含まない弧$\mathrm{AB}$上にある．次の問いに答えよ．
(1)$\cos C$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AP}=4$を満たすとき，線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が動くとき，$\triangle \mathrm{APB}$の面積の最大値を求めよ．
(1)$\cos C$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{AP}=4$を満たすとき，線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が動くとき，$\triangle \mathrm{APB}$の面積の最大値を求めよ．
私立 成城大学 2013年 第3問$1 \leqq x \leqq 4$のとき，関数
\[ y=(\log_2 x)^3-\log_2 x^3+1 \]
の最大値，最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
\[ y=(\log_2 x)^3-\log_2 x^3+1 \]
の最大値，最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
私立 玉川大学 2013年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)方程式$9 \sin x-2 \cos^2 x-3=0 (0<x<\pi)$は
\[ [ア] \sin^2 x+[イ] \sin x-[ウ]=0 \]
となるから，解は$\displaystyle x=\frac{[エ]}{[オ]}\pi,\ \frac{[カ]}{[キ]}\pi$である．
(2)$a>0$，$b>0$のとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の最小値は$[ク]$で，$\displaystyle \left( a+\frac{2}{b} \right) \left( b+\frac{8}{a} \right)$の最小値は$[ケコ]$である．
(3)同じ大きさの白玉$6$個と赤玉$4$個が袋の中に入っている．この袋の中から同時に$3$個の玉をとりだして目印をつけてから袋にもどし，再び袋の中から$1$個の玉をとりだす．$2$回目にとりだされた玉が目印のついた白玉である確率は
\[ \frac{[サ]}{[シス]} \]
である．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$2x+3y$の最大値は$\sqrt{[セソ]}$である．
(5)$x^{99}+x^{49}+1$を$x^2-1$で割った余りは，$[タ]x+[チ]$である．
(6)$2$つの方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x^2+(2a+5)x+5a=0 \\
2x^2+3ax+16=0
\end{array} \right. \]
が共通の解をもてば，$a=[ツテ]$または$\displaystyle a=\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．
(1)方程式$9 \sin x-2 \cos^2 x-3=0 (0<x<\pi)$は
\[ [ア] \sin^2 x+[イ] \sin x-[ウ]=0 \]
となるから，解は$\displaystyle x=\frac{[エ]}{[オ]}\pi,\ \frac{[カ]}{[キ]}\pi$である．
(2)$a>0$，$b>0$のとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の最小値は$[ク]$で，$\displaystyle \left( a+\frac{2}{b} \right) \left( b+\frac{8}{a} \right)$の最小値は$[ケコ]$である．
(3)同じ大きさの白玉$6$個と赤玉$4$個が袋の中に入っている．この袋の中から同時に$3$個の玉をとりだして目印をつけてから袋にもどし，再び袋の中から$1$個の玉をとりだす．$2$回目にとりだされた玉が目印のついた白玉である確率は
\[ \frac{[サ]}{[シス]} \]
である．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$2x+3y$の最大値は$\sqrt{[セソ]}$である．
(5)$x^{99}+x^{49}+1$を$x^2-1$で割った余りは，$[タ]x+[チ]$である．
(6)$2$つの方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x^2+(2a+5)x+5a=0 \\
2x^2+3ax+16=0
\end{array} \right. \]
が共通の解をもてば，$a=[ツテ]$または$\displaystyle a=\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．