$a$は実数の定数で，$0<a \leqq 1$とする．$2$次関数$f(x)=x^2-ax+b$が
\[ \int_0^1 f(x) \, dx=0 \]
を満たすとき，次の各問に答えよ．

(1)$a$と$b$の関係式を求めると，$\displaystyle b=\frac{[$*$け]}{[こ]}a+\frac{[$*$さ]}{[し]}$となる．
(2)実数$k$が$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx=k \int_{-1}^0 f(x) \, dx$を満たすとき，$k$の最小値は$[$*$す]$である．$k$が最小であるとき，$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものは$\displaystyle y=x+\frac{[$*$せ]}{[そ]}$である．
(3)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を$a$の式で表したものをそれぞれ$M(a)$，$m(a)$と記すと，
\[ M(a)=\frac{[$*$た]}{[ち]} a+\frac{[$*$つ]}{[て]},\quad m(a)=\frac{[$*$と]}{[な]} a^2+\frac{[$*$に]}{[ぬ]}a+\frac{[$*$ね]}{[の]} \]
となる．
(4)最大値と最小値の差$M(a)-m(a)$の最小値は$\displaystyle \frac{[は]}{[ひ]}$である．

$3$次関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x$について次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$|x| \leqq 2$における関数$y=f(x)$の最大値$M$，および最小値$m$を求めよ．
(3)定数$k$が$m \leqq k \leqq M$をみたすとき，直線$y=k$と曲線$y=f(x)$の共有点の個数を調べよ．
(4)定数$K$が$m \leqq K \leqq M$をみたすとき，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=K$をみたす$\theta$の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle -\frac{3}{4} \pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{4} \pi$とする．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(2,\ 1)$と点$\mathrm{B}(1,\ -2)$をとる．実数$\theta (0 \leqq \theta<2\pi)$に対して点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\cos \theta) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-\sin \theta) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす値をとって変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

関数$y=\cos^2 \theta+2 \sin \theta+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta=t$とおくとき，$y$を$t$の式で表せ．

(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$y$の値を求めよ．

(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$y$の最大値および最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

次の図のように，底面の半径が$3 \, \mathrm{cm}$，高さが$12 \, \mathrm{cm}$の円錐と，底面を共有し，円錐に内接する円柱がある．このとき，次の問いに答えよ．なお，円周率は$\pi$とする．
（図は省略）

(1)円柱の底面の半径を$x \, \mathrm{cm}$とするとき，円柱の高さ$h \, \mathrm{cm}$を$x$を用いて表せ．
(2)円柱の表面積の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x^2+4xy+3y^2-2x-8y-3$を因数分解せよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3$の$8$個の数字を用いて作ることができる$8$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$のとき$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(4)放物線$y=x^2+2x-1$を原点に関して，対称移動したときの放物線の式を求めよ．
(5)$2$次関数$y=-x^2+6x-9$の最大値，最小値があれば，それを求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{4x+5}{x^2+1}$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$12$]$で最小値$[$13$]$を，$x=[$14$]$で最大値$[$15$]$をとる．
(2)$f(x)=\cos 5x+9 \cos 3x-10 \cos x$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$16$]$のとき最小値$[$17$]$をとる．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2-x-y-xy-2=0$を満たすとき，$x$の最小値は$[$18$]$，最大値は$[$19$]$である．また，$x+y$の最小値は$[$20$]$，最大値は$[$21$]$である．

関数$f(x)=2x^3-3x^2-12x$の区間$-2 \leqq x \leqq 1$での最大値は$x=[　]$のとき$[　]$であり，最小値は$x=[　]$のとき$[　]$である．また，区間$-2 \leqq x \leqq 4$のとき，$f(x)$の最大値から最小値を引いた値は$[　]$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)関数$y=(x+1)(3-x)$のグラフの頂点の座標を求めなさい．
(2)頂点の座標が点$(-2,\ 1)$で，点$(-3,\ -1)$を通る$2$次関数を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$-2$だけ平行移動するとき，$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフになるとする．この定数$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(4)$a$を正の定数とする．$2$次関数$y=ax^2+2ax+b$は，区間$-1 \leqq x \leqq 0$における最大値が$2$，最小値が$-2$とする．このとき，定数$a,\ b$の値を求めなさい．

動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，時刻$t=0$においてすべて点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$3$の円周上を反時計まわりに移動する．時刻$t$において$\angle \mathrm{AOP}=t$，$\angle \mathrm{AOQ}=2t$，$\angle \mathrm{AOR}=3t$である．以下，$t$は$0<t<\pi$を満たすものとする．

(1)時刻$t$において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$は，
\[ S=[ア] \sin t-\frac{[イ]}{[ウ]} \sin \left( [エ] t \right) \]
と表わせる．面積$S$は$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき最大値$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \sqrt{[コ]}$をとる．

(2)点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．時刻$t$において，行列
$\left( \begin{array}{cc}
\cos \displaystyle\frac{3}{2}t & \sin \displaystyle\frac{3}{2}t \\
-\sin \displaystyle\frac{3}{2}t & \cos \displaystyle\frac{3}{2}t
\end{array} \right)$で表わされる$1$次変換により，点$\mathrm{H}$は
\[ \left( 3 \cos \left( \frac{[サ]}{[シ]} t \right),\ 3 \sin \left( \frac{[ス]}{[セ]} t \right) \right) \]
に移動する．$\mathrm{OH}^2$は$\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$を満たす時刻$t$において最大値$[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}$をとる．
(3)時刻$t$の変化にともない，線分$\mathrm{PR}$の中点が描く軌跡を$C$とする．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} (\alpha \geqq 0)$を始線としたとき，曲線$C$の極方程式は，極座標$(r,\ \theta)$を用いて
\[ r=[ト] \cos \left( \frac{[ナ]}{[ニ]} \theta \right) \]
と表わされる．