以下の問に答えよ．

(1)関数$y=2x^2-3x+2 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x-1|<-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$の解は$A<x<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(3)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ 2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABH}$の面積を求めよ．
(4)$2$つの放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$と$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2+2kx-\frac{3}{2}k$が共有点を持たないような定数$k$の値の範囲は，$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}$の小数部分の値を求めよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)関数$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2-3x-\frac{1}{2}$のグラフの頂点の座標を求めなさい．
(2)$x$軸と点$(-3,\ 0)$で接し，点$(-2,\ -2)$を通る$2$次関数を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-5$だけ平行移動するとき，$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフになるとする．この定数$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(4)$a$を正の定数とする．$2$次関数$y=ax^2-4ax+b$は，区間$0 \leqq x \leqq 2$における最大値が$-1$，最小値が$-5$とする．このとき，定数$a,\ b$の値を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^{1-x} \, dx$を求めよ．
(5)関数$f(x)=x^3 \log x$の極値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)$2$つの放物線$y=-x^2+8x$と$y=-3x^2+18x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)点$(x,\ y)$が領域$3x+y \geqq 5$を動くとき，$x^2+y$の最小値を求めよ．

$a$を正の定数とする．関数$\displaystyle f(x)=-\frac{x^3}{3}+ax$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最小値を求めよ．

$a,\ b$を$a^2b^3=64$を満たす正の実数とする．

(1)$(\log_2a)^2+\log_2b$の値が最小となるときの$a,\ b$の値は$a=[ツ]$，$b=[テ]$である．
(2)$c=b^{\log_2a+1}$とおく．$\log_2a=t$とおくとき，$\log_2c$は$t$を用いて$\log_2c=[ト]$と表される．$t$の関数$f(t)$を$f(t)=[ト]$と定めるとき，関数$f(t)$の最大値は$[ナ]$である．
(3)$k,\ l$を$0<k<1<l$を満たす実数とする．$(2)$で定めた関数$f(t)$の定義域を$k \leqq t \leqq l$としたとき，値域は$k \leqq f(t) \leqq l$になった．このとき，$k,\ l$の値は，$k=[ニ]$，$l=[ヌ]$である．

$a$を正の定数とし，$x$の関数$y=a^2x^2-2ax-1 (1 \leqq x \leqq 3) \cdots\cdots①$を考える．$①$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．

(1)$M,\ m$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle M-m=\frac{1}{3}$であるときの$a$の値を求めよ．

次の文中の$[ア]$～$[ニ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき，
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また，
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(3)$\log_{|a-b|}27=3$，および，$2^{2b-a}=8$とする．このとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$，または，$a=[シ]$，$b=[ス]$である．
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり，$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である．ただし，$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする．
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき，相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである．

次の文中の$[ア]$～$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

放物線$y=-x^2+1$を$C_1$，また$y=(x-t)^2+kt+1$を$C_2$とする．ここで$k>0$とし，$t$は任意の実数値をとるものとする．$t$の値が変化するに従い，$C_2$の頂点の軌跡はある直線になる．この直線を$L$とする．

(1)$k=1$の場合を考える．このとき，直線$L$の方程式は，$y=[ア]x+[イ]$である．また$C_1$および$L$によって囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$\displaystyle k=\frac{1}{2}$の場合を考える．$C_1$と$C_2$がただ$1$つの点で接する場合，接点の座標は
\[ (x,\ y)=([オ],\ [カ]) \]
および
\[ (x,\ y)=\left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．
$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点をもつのは，$[サ]<t<[シ]$のときである．このとき，それらの$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすれば，
\[ \alpha+\beta=[ス]t+[セ],\quad \alpha\beta=\frac{[ソ]}{[タ]}t^2+\frac{[チ]}{[ツ]}t+[テ] \]
である．また，$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積$S(t)$は，
\[ S(t)=\frac{1}{[ト]} ([ナ]t^2+[ニ]t+[ヌ])^p,\quad \text{ただし} p=\frac{[ネ]}{[ノ]} \]
である．この面積は$\displaystyle t=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ][ホ]}$をとる．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の下で，関数$f(\theta)=-\sin 2\theta+\sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)$を考える．

(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$[$*$チ] \leqq t \leqq \sqrt{[ツ]}$である．
(2)$f(\theta)$を$t$の式で表すと，$[$*$テ]t^2+\sqrt{[ト]}t+[$*$ナ]$となる．
(3)$f(\theta)$が最大になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ニ]}{[ヌネ]}\pi$のときで，最大値は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$である．最小になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ヒ]}{[フ]} \pi$のときで，最小値は$-\sqrt{[ヘ]}$である．