$f(x)=e^{-x}$とする．実数$t$に対し，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$を考える．

(1)$t \geqq 0$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$の最大値を求めよ．
(2)$k$を自然数とし，$t=k \log 2$であるときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_k$とする．自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

$f(x)=e^{-x}$とする．$t \geqq 0$に対して，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{A}(t,\ f(t))$，点$\mathrm{B}(t-\log 2,\ f(t-\log 2))$および原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(1)$t=0$のとき，$S$を求めよ．
(2)$t \geqq 0$のとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$S$の最大値を求めよ．

円$x^2+y^2+4x+2 \sqrt{2}y+3=0$について，次の問いに答えよ．

(1)この円の中心と半径をそれぞれ求めよ．
(2)この円上の点$(x,\ y)$において，$x+y$のとる値の最大値と最小値を求めよ．
(3)この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ．

$x$が$3<x<6$の範囲にあるとき，次の問に答えよ．

(1)この範囲ではつねに$\displaystyle \frac{1}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq 3$が成立することを示せ．

(2)この範囲でつねに$\displaystyle \frac{5}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq a$が成立するような$a$の最大値を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)実数$x,\ y$が$2x+y=\sqrt{2013}$を満たすとき，$xy$の最大値を求めると$[　]$．

(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=[　]$．

(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\sin^3 x+\cos^3 x$の最大値$M$と最小値$m$を$t=\sin x+\cos x$とおいて求めると$(M,\ m)=[　]$．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．$-1 \leqq \tan x \leqq \sqrt{3}$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=\sin x+2 \cos x$の最大値と最小値を求めよ．

方程式$7x+13y=1111$を満たす自然数$x,\ y$に対して，次の問いに答えよ．

(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．

頂点が$\mathrm{O}$で，各辺の長さが$1$である正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{CO}$を$t:1-t \ (0<t<1)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{OD}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．次に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{BR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$k,\ t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{R}$が$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{Q}$の定める平面上にあるとする．

(i) $k$を$t$を用いて表せ．
(ii) $t$の値が変化するとき，$k$の最大値を求めよ．また，$k$が最大値をとるときの四角形$\mathrm{PBQR}$の面積$S$を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{2}+\sin x}$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x) \, dx$を求めよ．

方程式$7x+13y=1111$を満たす自然数$x,\ y$に対して，次の問いに答えよ．

(1)この方程式を満たす自然数の組$(x,\ y)$はいくつあるか求めよ．
(2)$s=-x+2y$とするとき，$s$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=|2x-5y|$とするとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．