不等式$(x+y)(x-y+4) \geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$y \geqq x^2+4x$の表す領域を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．

$\mathrm{AB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\theta \ \left( 0<\theta<\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$である$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$またはその延長に垂線$\mathrm{BP}$を下ろし，点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta=t$とするとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$t$を用いて表せ．
(2)$\theta$を動かすとき，$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積の最大値を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ y=\{2 \cos 2x-(3+3 \sqrt{3})\cos x+3 \sqrt{3}+2\}\cos x \]
の最大値・最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

$a>0$となる定数$a$に対して，関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-a^2x-\frac{2}{3}a^3$とする．次の問いに答えよ．

(1)$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$における関数$|f(x)|$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)区間$-1<x<1$における
\[ f(x)=\log ((1-x)^{1-x}(1+x)^{1+x}) \]
の最小値を求めよ．ただし，対数は自然対数である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における
\[ g(x)=\cos x+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{3}\cos 3x \]
の最大値，最小値を求めよ．

$x \geqq 2$とし，区間$-1 \leqq t \leqq 1$における$f(t)=4t^3-x^2t$の最大値を$M(x)$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=M(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=M(x)$と$y$軸および$2$直線$\displaystyle y=\frac{8 \sqrt{3}}{9},\ y=10$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -3,\ 0)$を直径の両端とする球面$S$を考える．$S$上に点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$をとり，$S$外に点$\mathrm{Q}(3,\ 4,\ 5)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)球面$S$の方程式を求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は，点$\mathrm{P}$が球面$S$上のどこにあっても必ず$0$になることを証明せよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$で表すとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさとベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が球面$S$上を動くとき，$3x+4y+5z$の最大値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3ax$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数$k$が$0<k \leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k \leqq x \leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$直線$\displaystyle y=\frac{1}{a}x+1,\ y=(b+1)x$のなす鋭角を$\theta$とする．

\mon[$①$] $\tan \theta$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$②$] $\tan \theta \leqq 1$となる確率を求めよ．

(2)$xy$平面上で，連立不等式$x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 2x+y \leqq 4$の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$がこの領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{b}{a}x+y$の最大値を$M$とする．

\mon[$①$] $\displaystyle \frac{b}{a} \leqq 2$のとき，$M$を求めよ．
\mon[$②$] $\displaystyle \frac{b}{a}>2$のとき，$M$を$a$と$b$を用いて表せ．
\mon[$③$] $M$の期待値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．