一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin x+\cos x$の値の範囲を求めよ．
(2)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin 2x-\sin x-\cos x$の最大値と最小値を求めよ．

$m,\ n$を自然数として，関数$f(x)=x^m(1-x)^n$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m,\ n$を用いて表せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3)$a,\ b,\ c$を実数として，関数$g(x)=ax^2+bx+c$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a,\ b,\ c)$とする．次の2条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$が成立するとき，$M(a,\ b,\ c)$の最小値を$m,\ n$を用いて表せ．

(i) $g(0)=g(1)=0$
(ii) $0<x<1$のとき$f(x) \leqq g(x)$

(4)$m,\ n$が2以上の自然数で$m>n$であるとき
\[ \frac{(m+n+1)!}{m!n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1} \]
が成立することを示せ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=\frac{2}{3}\sin 3\theta-\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \]
とおく．$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$を示せ．また，$\displaystyle \frac{t^3-3t}{2}=\sin 3\theta$が成り立つことを示せ．
(3)$f(\theta)$を$t$の式で表せ．また，それを利用して$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

$p,\ r$を$-r<p<r$をみたす実数とする．$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(r,\ p^2)$，$\mathrm{R}(r,\ r^2)$，$\mathrm{S}(p,\ r^2)$に対し，線分$\mathrm{PR}$の長さは$1$であるとする．このとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値と，そのときの$\mathrm{P},\ \mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ求めよ．

座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)自然数$n$について$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$(x-2)^2+y^2 \leqq 3$を満たすとき，$\displaystyle \frac{y-7}{x}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$4$次方程式$x^4+ax^3+14x^2+16x+b=0$が$x=-2$を$2$重解としてもつとき，定数$a,\ b$の値と他の解を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=\sin^2 \theta-\sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

不等式$(x+y)(x-y+4) \geqq 0$の表す領域を$A$とし，不等式$y \geqq x^2+4x$の表す領域を$B$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$A$を図示せよ．
(2)領域$A \cap B$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$A \cap B$を動くとき，$4x-y$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$と$y$の値もそれぞれ求めよ．

半径$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，中心角$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=2 \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の扇形$\mathrm{OAB}$に内接し，その$2$辺が弦$\mathrm{AB}$と平行であるような長方形$\mathrm{PQRS}$について考える．頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は弧$\mathrm{AB}$上に，残りの$2$頂点はそれぞれ辺$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$上にあるとして，$\angle \mathrm{POQ}=2\alpha$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積を，$\alpha$と$\theta$の三角比を用いて表せ．
(2)長方形$\mathrm{PQRS}$の面積が最大になるときの$\alpha$を$\theta$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値を求めよ．