平面上に同じ点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_1$と半径$2$の円$C_2$があり，$C_1$の周上に定点$\mathrm{A}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はそれぞれ$C_1$，$C_2$の周上を反時計回りに動き，ともに時間$t$の間に弧長$t$だけ進む．時刻$t=0$において，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$の位置にあって$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はこの順に同一直線上に並んでいる．$0 \leqq t \leqq 4\pi$のとき$\triangle \mathrm{APQ}$の面積の$2$乗の最大値を求めよ．

$1$個のさいころを$n$回投げ，出た目の最大値を$X_n$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$X_n$が$k$以下である確率$p_k$を求めよ．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(2)$X_n$が$k$である確率$q_k$を求めよ．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(3)$X_n$の期待値を$n=2$の場合に求めよ．
(4)$X_n$の期待値が$4.5$以上となる$n$の範囲を求めよ．

$C$を$xy$平面上の放物線$y=x^2$とする．不等式$y<x^2$で表される領域の点$\mathrm{P}$から$C$に引いた$2$つの接線に対して，それぞれの接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．また，$2$つの接線と$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，等式
\[ \int_p^q (x-p)^2 \, dx=\frac{(q-p)^3}{3} \]
を用いてもよい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(a,\ b)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\frac{(\beta-\alpha)^3}{12}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3-1 \ (-1 \leqq x \leqq 1)$上を動くとき，$(\beta-\alpha)^2$の値の範囲を調べよ．さらに，$S$の最大値および最小値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0<\theta<\pi)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -1< \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \leqq \frac{1}{2}$となる$\theta$の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で定める．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{POQ}$の面積の最大値を求めよ．

座標平面上に2点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(\cos \theta,\ 1-\sin \theta)$がある．次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$を$\theta$で表せ．

(2)$\displaystyle \frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$を用いて，$\displaystyle \sin \frac{7\pi}{12}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \pi$における$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．

実数$x$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=|x^2-6x+5|-x^2+4x+5 \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 6$において，$f(x)$は$x=a$で最大値$f(a)$を，$x=b$で最小値$f(b)$をとる．$a,\ b$および$f(a),\ f(b)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$について，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$を求めよ．

正の実数$a,\ b$に対して，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
ax+y \leqq 6 \\
0 \leqq x \leqq b \\
0 \leqq y
\end{array}
\right. \]
次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$a=1,\ b=9$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$2x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$ab=9$であり，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くときの$2x+y$の最大値が$16$であるとする．このとき，$a,\ b$の値を求めよ．

一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

半径1の円盤$C_1$が半径2の円盤$C_2$に貼り付けられており，2つの円盤の中心は一致する．$C_2$の周上にある定点を$\mathrm{A}$とする．図のように，時刻$t=0$において$C_1$は$\mathrm{O}(0,\ 0)$で$x$軸に接し，$\mathrm{A}$は座標$(0,\ -1)$の位置にある．2つの円盤は一体となり，$C_1$は$x$軸上をすべることなく転がっていく．時刻$t$で$C_1$の中心が点$(t,\ 1)$にあるように転がるとき，$0 \leqq t \leqq 2\pi$において$\mathrm{A}$が描く曲線を$C$とする．

(1)時刻$t$における$\mathrm{A}$の座標を$(x(t),\ y(t))$で表す．$(x(t),\ y(t))$を求めよ．
(2)$x(t)$と$y(t)$の$t$に関する増減を調べ，$x(t)$あるいは$y(t)$が最大値または最小値をとるときの$\mathrm{A}$の座標を全て求めよ．
(3)$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
（図は省略）

正の実数$a,\ b$に対して，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
ax+y \leqq 6 \\
0 \leqq x \leqq b \\
0 \leqq y
\end{array}
\right. \]
次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=3$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$5x+2y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=6$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$3x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)$a=5$であるとする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$4x+y$の最大値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．