「最大値」について
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公立 福岡女子大学 2014年 第2問関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
公立 福岡女子大学 2014年 第2問関数$f(x)=\cos^2 x+\sqrt{3} \sin x \cos x$について，以下の問に答えなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
(1)$f(x)$が$f(x)=r \sin (ax+b)+c$となるように，定数$r,\ a,\ b,\ c$を求めなさい．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq b \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフを描き，$f(x)$の最大値を与える$x$の値，および$f(x)$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．
公立 島根県立大学 2014年 第3問$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$について，$f(x)$が$x=-1$で極大値$\displaystyle \frac{5}{3}$をとり，$x=3$で極小値$-9$をとるとき，次の問いに答えよ．
(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフを$G$とし，その接線$\ell$が点$(2,\ -6)$を通るとき，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)グラフ$G$と接線$\ell$との共有点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．グラフ$G$上の点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
(1)定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフを$G$とし，その接線$\ell$が点$(2,\ -6)$を通るとき，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)グラフ$G$と接線$\ell$との共有点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．グラフ$G$上の点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．
公立 尾道市立大学 2014年 第3問$a$を正の定数とする．関数$f(x)=(x-2)^3-3(x-2)+2$の$0 \leqq x \leqq a$における最大値を$M$とする．このとき次の問いに答えなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値，およびそのときの$f(x)$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフを描きなさい．
(3)$M$を$a$を用いて表わしなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値，およびそのときの$f(x)$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフを描きなさい．
(3)$M$を$a$を用いて表わしなさい．
国立 京都大学 2013年 第4問$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$\displaystyle \cos x+\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$の最大値を求めよ．ただし$\pi>3.1$および$\sqrt{3}>1.7$が成り立つことは証明なしに用いてよい．
国立 東北大学 2013年 第4問$t$は$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とする．放物線$y=x^2$，直線$x=1$，および$x$軸とで囲まれた図形を$A$，放物線$y=4(x-t)^2$と直線$y=1$とで囲まれた図形を$B$とする．$A$と$B$の共通部分の面積を$S(t)$とする．
(1)$S(t)$を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 1$における$S(t)$の最大値を求めよ．
(1)$S(t)$を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 1$における$S(t)$の最大値を求めよ．
国立 一橋大学 2013年 第2問平面上の4点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ \mathrm{OA}=4,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \]
を満たすとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．
\[ \mathrm{OA}=4,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \]
を満たすとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．
国立 一橋大学 2013年 第4問$t$を正の定数とする．原点を$\mathrm{O}$とする空間内に，$2$点$\mathrm{A}(2t,\ 2t,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ t)$がある．また動点$\mathrm{P}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=3 \]
を満たすように動く．$\mathrm{OP}$の最大値が$3$となるような$t$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=3 \]
を満たすように動く．$\mathrm{OP}$の最大値が$3$となるような$t$の値を求めよ．
国立 北海道大学 2013年 第1問$f(x)=\sqrt{2}\sin x \cos x+\sin x+\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．
(1)$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
国立 埼玉大学 2013年 第4問$xyz$空間における平面$y=0$上のグラフ$z=2-x^2,\ (0 \leqq x \leqq \sqrt{2})$を$z$軸の周りに回転して得られるものを平面$x=a$で切りとる．ただし$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$とする．そのとき切り口の平面に曲線$G$が現れた．$G$上の点$(x,\ y,\ z)$は，
\[ x=a,\quad z=2-a^2-y^2 \quad (-\sqrt{2-a^2} \leqq y \leqq \sqrt{2-a^2}) \]
をみたす．切り口の平面$x=a$上において点$(a,\ 0,\ 0)$と曲線$G$上の点の距離の最大値を$r(a)$とする．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$に対して$r(a)$を求めよ．
(2)次の積分値を求めよ．
\[ \pi \int_1^{\sqrt{2}}(r(x))^2 \,dx \]
\[ x=a,\quad z=2-a^2-y^2 \quad (-\sqrt{2-a^2} \leqq y \leqq \sqrt{2-a^2}) \]
をみたす．切り口の平面$x=a$上において点$(a,\ 0,\ 0)$と曲線$G$上の点の距離の最大値を$r(a)$とする．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$に対して$r(a)$を求めよ．
(2)次の積分値を求めよ．
\[ \pi \int_1^{\sqrt{2}}(r(x))^2 \,dx \]