関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+4}$について，以下の設問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle f(x)>-\frac{1}{2}$を解け．
(2)関数$f(x)$の導関数を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(4)$a>0$とする．$x \geqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a) \geqq 2$となる$a$の値の範囲を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[エ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$3$個のさいころを同時に投げるとき，次の順に問題を考える．

(1)出た目の最大値が$4$以下である確率$P$は，$P=[ア]$である．
(2)次に，出た目の最大値が$k$以下である事象を考える．この事象の確率$Q$を$k$を用いて表せば，$Q=[イ]$である．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(3)また，出た目の最大値が$k$である事象を考える．この事象の確率$R$を$k$を用いて表せば，$R=[ウ]$である．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(4)最後に，出た目の最大値の期待値$E$を求めれば，$E=[エ]$となる．

二つの関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=4x^2-8s(x+k)+s^4-s^2 \\
g(x)=8sx+s^4-4
\end{array} \]
ここで，$k$と$s$は実数の定数であり，$0<s \leqq 1$とする．また，$y=f(x)$のグラフは点$(0,\ s^4)$を通ることとする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$k$を$s$で表せ．
(2)$f(x)$の最小値を$m$とする．$m$を$s$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが少なくとも一つの共有点をもつような$s$の値の範囲を求めよ．
(4)$s$の値が$(3)$で得られた範囲にあるとき，$m$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．

平面上に三つの異なる定点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，同じ平面上に動点$\mathrm{P}$があり，$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{2}$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$，$(3)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\overrightarrow{m}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-6$が成り立つ．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$のなす角を$\alpha$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$のなす角を$\beta$とする．ただし，$0 \leqq \alpha \leqq \pi$，$0 \leqq \beta \leqq \pi$とする．以下の設問$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\cos \alpha$の値を求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積が最大となるときの$\beta$の値を求めよ．
(iii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$\log_3 (x-1)+\log_9 (x+9)-1=0$を解け．
(2)$1$辺の長さが$1$の正方形の紙から右図のように高さが$x$の合同な$4$枚の二等辺三角形を切りとって除き，四角錐の展開図を作る．その展開図を折り曲げて作られる四角錐の体積$V$が最大となる$x$と，その時の体積$V$の最大値を求めよ．
（図は省略）

以下の問いの空欄$[タ]$～$[ノ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$i$を虚数単位として，等式$(2+i)(x-3yi)=1-i$を満たす実数$x$および$y$の値を求めると$x=[タ]$，$y=[チ]$となる．
(2)平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ -1)$と直線$x-2y-2=0$がある．この直線上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$([ツ],\ [テ])$となる．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$の条件で，関数$y=\cos 2\theta-4 \sin \theta$の最大値と最小値を求めると，$\theta=[ト]$のときに最大値$[ナ]$をとり，$\theta=[ニ]$のときに最小値$[ヌ]$をとる．
(4)不等式$9^x \leqq 6+3^x$の解は$[ネ]$である．
(5)$3$つの数$x-3,\ x+1,\ x+6$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めると$x=[ノ]$となる．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2-5x+3=0$を解け．
(2)$x \leqq 2$のとき，$4 \cdot 2^{2x}-2^{x+2}+2$の最小値とそのときの$x$の値，最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

$a$を実数とし，$a>1$とする．$3$個の関数を
\[ f(x)=-2x^2+2ax,\quad g(x)=-x^2+a^2,\quad h(x)=-2ax+2a^2 \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して，$f(x) \leqq g(x) \leqq h(x)$となることを示せ．
(2)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq 1,\quad g(x) \leqq y \leqq h(x) \]
で表される領域の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)連立不等式
\[ 1 \leqq x \leqq a,\quad f(x) \leqq y \leqq g(x) \]
で表される領域の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$S(a)=S_1-S_2$の最大値を求めよ．

一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$と，その外接円$O$がある．弧$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$は，$\angle \mathrm{BCP}=\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たすように動く．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PB}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$の最大値を求めよ．
(3)$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$は一定であることを示せ．
(4)$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} \cdot \mathrm{PC}$の最大値を求めよ．