$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．

$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]

次の文中の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．

曲線$C:y=-5x^3+21x$と直線$\ell:y=x$の交点のうち$x$座標が正である点を$\mathrm{A}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$\triangle \mathrm{OAP}$の面積$S$を$t$の式で表せ．ただし，$0<t<2$とする．
(3)$0<t<2$とするとき，$(2)$で求めた$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)不等式$|3x-5|<x+4$を満たす整数解を求めよ．
(2)式$(\cos {15}^\circ+\sin {15}^\circ)^2+(\cos {15}^\circ-\sin {15}^\circ)^2$の値を求めよ．
(3)$2 \leqq x \leqq 3$，$3 \leqq y \leqq 4$のとき，$1+xy-x-y$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^3+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^3=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)関数$y=-3x^2+6x (0 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[ウ]$で，最小値は$[エオ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x+3=0$の解は$\displaystyle x=\frac{[カ] \pm \sqrt{[キ]}i}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2} (0 \leqq \theta \leqq {90}^\circ)$のとき

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．

(5)正方形$\mathrm{ABCD}$の各辺に赤，青，黄，緑のいずれかの色を塗る．ただし，同じ色を$2$度以上使ってもよいものとする．

(i) 辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$が赤色になる塗り方は$[シス]$通りある．
(ii) $3$つの辺が赤色で，残りの$1$つの辺は赤色以外になる塗り方は$[セソ]$通りある．
(iii) 向かい合う辺は同じ色であるが，すべての辺が同じ色とはなっていない塗り方は$[タチ]$通りある．

$x$の関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}ax^2-a$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値を$g(a)$とおく．ただし，$a$は実数とする．

(1)$g(a)$を求めよ．
(2)$g(a)$の最小値と，その時の$a$を求めよ．

$a$を$0$以上$9$以下の整数，$b$を$1$以上$99$以下の整数，$c$を$512$の倍数として次の問に答えよ．

(1)$80a+b$の最大値は$[$1$][$2$][$3$]$である．
(2)$80a+b-c+12$が$512$の倍数であるとき，$80a+b=[$4$][$5$][$6$]$であり，$a=[$7$]$，$b=[$8$][$9$]$である．

$\displaystyle x=\sin \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right)$とする．次の各問に答えよ．

(1)$[ア] \leqq x \leqq \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$である．

(2)$\sin \theta \cos 2\theta$を$x$で表すと，$x([エ]-[オ]x^2)$となる．

(3)$\sin \theta \cos 2\theta$は$\displaystyle \sin \theta=\frac{[カ]}{\sqrt{[キ]}}$のとき，最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$をとる．

中心$\mathrm{O}$，半径$1$の円周上に定点$\mathrm{A}$と動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は常に$\angle \mathrm{PAQ}={120}^\circ$を満たしながら動いている．$\angle \mathrm{OAP}=\theta$として次の各問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$\theta$の動ける範囲は${[あい]}^\circ<\theta<{[うえ]}^\circ$である．
(2)$\mathrm{AP}$，$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$，$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \mathrm{AP}=[お] \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{[か]} \sin \theta+[$*$ き] \cos \theta \]
となる．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$を用いて表すと，
\[ S(\theta)=\frac{[こ]}{[さ]} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{[し]}}{[す]} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{[せ]}}{[そ]} \]
となり，$S(\theta)$は$\theta={[たち]}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[つ]}}{[て]}$をとる．

$m$を定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-2mx+m^2-4m$について，以下の問に答えよ．

(1)$m=3$のとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$の最大値が$2$，最小値が$-4m$となるような$m$の値を求めよ．