$2$個以上の正の整数を要素とする有限集合を$A$とする．

$A$のどの$2$数も一方が他方を割り切るとき$A$は良い集合であるといい，$A$のどの$2$数も互いに他を割り切らないとき$A$は悪い集合であるという．
また，$A$の良い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は良い集合} \right\} \]
を$A$の最良数と定義し，$A$の悪い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，
\[ \max \left\{ n(B) \;|\; B \subset A,\ n(B) \geqq 2 \text{かつ} B \text{は悪い集合} \right\} \]
を$A$の最悪数と定義する．
たとえば，$A=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 14,\ 15,\ 77,\ 154,\ 225,\ 231,\ 308 \}$のとき，$A$の良い部分集合は$\{7,\ 77,\ 231\}$，$\{7,\ 14,\ 154,\ 308 \}$，$\{11,\ 77,\ 154,\ 308 \}$などであり，$A$の最良数は$4$である．また，$A$の悪い部分集合は$\{231,\ 308 \}$，$\{14,\ 15,\ 77 \}$，$\{2,\ 7,\ 11,\ 15 \}$，$\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11 \}$などであり，$A$の最悪数は$5$である．
$k$を$2$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$n(A)=k^2$で，かつ最良数も最悪数も$k$である集合$A$が存在することを証明せよ．
(2)$n(A) \geqq k^2+1$ならば，$A$の最良数または$A$の最悪数のどちらかは$k+1$以上であることを証明せよ．
(3)要素数が$2014$で，かつ最良数と最悪数が等しいような集合，すなわち，
\[ n(A)=2014 \quad \text{かつ} \quad (A \text{の最良数})=(A \text{の最悪数}) \]
を満たす集合$A$を考える．このような集合たちの中で最良数が最小となる集合の例を挙げよ．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$0<x<1$とする．$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=6$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$x^3=[イ]$である．
(2)$a,\ b$は正の定数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2+(a^2-4a)x+a-b=0$が$2$つの数$\alpha+3$，$\beta+3$を解とするとき，$a,\ b$の値は$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq 1$が成り立つ$\theta$の範囲は$[オ]$である．$[オ]$の範囲で$2 \cos 2\theta+3 \sin \theta$は最大値$[カ]$，最小値$[キ]$をとる．
(4)正十六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_{16}$の$16$個の頂点のうちの$3$個を頂点とする三角形の総数は$[ク]$である．これらの三角形のうち，直角三角形の個数は$[ケ]$個であり，鈍角三角形の個数は$[コ]$個である．

$a$は$0<a<e$を満たす定数とする．曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$，法線を$m$とおく．以下の問に答えよ．必要ならば$\displaystyle e=\lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}}$で，$2.718<e<2.719$であることを用いてよい．

(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき，$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ．
(4)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ．

$f(x)=|x^2-8x+12|$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=4$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$3 \leqq x \leqq 7$のとき，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$t \leqq x \leqq t+1$のとき，$f(x)$の最大値が$4$となるような$t$の値の範囲を求めよ．

座標空間内の球面$x^2+y^2+z^2=9$上に$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 2)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$k$を正の定数とする．$f(x)=2x^3-12kx^2+18k^2x$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．
(3)区間$0 \leqq x \leqq 8$における$f(x)$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{8} \right) \div 0.25$を計算せよ．
(2)$200$以下の自然数のうち，$3$の倍数でも$7$の倍数でもないものはいくつあるか答えよ．
(3)ある縮尺の地図上で，たて$x \, \mathrm{cm}$，よこ$y \, \mathrm{cm}$で表される長方形の土地がある．この土地の実際の面積が$z \, \mathrm{m}^2$のとき，この地図の縮尺を求めよ．
(4)$x$に関する方程式$kx^2+kx+1=0$が実数解を持たない場合の，$k$の最大値を求めよ．ただし，$k$は整数とする．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$a_{n+1}=4a_n+1$で与えられているとき，$a_2=[ア]$であり，その一般項は$a_n=[イ]$となる．また，$a_{n+2}-a_n$を$5$で割った余りは$[ウ]$である．ここで，$a_n$を$5$で割った余りを$b_n$とする．このとき，$b_4=[エ]$，$b_5=[オ]$であり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} a_kb_k=[カ]$である．
(2)座標平面において$1$次変換$f$による点$\mathrm{A}(2,\ 0)$の像は点$\mathrm{C}(4,\ 0)$であり，点$\mathrm{B}(0,\ 4)$の像も点$\mathrm{C}(4,\ 0)$であるとする．このとき，$f$による点$\mathrm{D}(3,\ 2)$の像は点$([キ],\ [ク])$である．次に，放物線上を動く点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ -\frac{1}{2} t^2+1 \right) (0 \leqq t \leqq 4)$の$f$による像を点$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標の最大値は$[ケ]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[コ]$である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

袋の中に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の球が入っている．この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$2$回行うとき，取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$X$とする．$X$が$3$以下となる場合の数は$[ア]$通りである．また，$X$が$4$以下となる場合の数は$[イ]$通りである．$X$が$3$となる場合の数は$[ウ]$通りであるので，$X$が$3$と等しくなる確率は$[エ]$である．したがって，$i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9$に対して，$X$が$i$と等しくなる確率は$[オ]$であり，$X$の期待値は$[カ]$である．
次に，この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$k$回行うとき（$k$は自然数），取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$Y$とする．$Y$が$j (j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9)$以下となる場合の数は$[キ]$通りであり，$Y$が$j$と等しくなる場合の数は$[ク]$通りである．したがって，$Y$が$j$と等しくなる確率は$[ケ]$であり，$Y$の期待値は$\displaystyle 9-\frac{1}{9^k} \sum_{j=1}^8 [コ]$である．

$[シ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

$n$を$100$以下の自然数とし，$n$の約数の個数を$f(n)$，空集合を$\phi$とする．

(1)$f(48)=[アイ]$であり，$f(n)=9$を満たす最小の自然数は$n=[ウエ]$である．$f(n)=5$を満たす$n$の個数は$[オ]$個であり，$f(n)=6$を満たす$n$の個数は$[カキ]$個である．
(2)$f(n)$の最大値は$[クケ]$である．したがって，$f(f(n))>4$を満たす最小の自然数は$n=[コサ]$となる．
(3)$f(n)=2$を満たす$100$以下の自然数$n$の集合を$A$，$100$以下の素数の集合を$B$とすると，$[シ]$が成り立つ．

$[シ]$の解答群
\mon[$①$] $A \in B$
\mon[$②$] $B \in A$
\mon[$③$] $A=B$
\mon[$④$] $A \subset B$かつ$A \neq B$
\mon[$⑤$] $B \subset A$かつ$A \neq B$
\mon[$⑥$] $A \cap B=\phi$
\mon[$④chi$] $A \cap B \neq \phi$かつ$A \neq A \cup B \neq B$