$1$枚の硬貨を$7$回投げるとき，表が続いて出る回数の最大値を$X$とする．たとえば，裏表表表裏表表であれば，$X=3$である．

(1)$X=5$となる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$][$4$]}$である．

(2)$X=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[$5$]}{[$6$][$7$]}$である．

(3)$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[$8$][$9$]}{[$10$][$11$][$12$]}$である．

次の空欄にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

$\{a_n\}$を，初項$1$，公差$d$の等差数列とし，
\[ P_n=r^{a_1} \cdot r^{a_2} \cdot \cdots \cdot r^{a_n} \]
と定義する．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数である．$P_n$が$P_3=P_9$を満たしているならば，公差$d=[ア]$である．このとき，$P_n$は，$n=[イ]$のとき，最大値$[ウ]$をとる．また，$P_n<1$となる最小の$n$は，$n=[エ]$である．

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$について，次の問に答えよ．

(1)$\sin \theta+\cos \theta=t$とおくとき，$\displaystyle y=-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t$であることを示せ．
(2)$y$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$がある．正の実数$t$に対して点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，$\angle \mathrm{BPA}=\theta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)$\tan \theta$を$t$で表せ．
(2)$\theta$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

下図のように，点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$1$で中心角が$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$の扇形$\mathrm{OAB}$がある．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす角として，弧$\mathrm{AB}$上に，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$，$\angle \mathrm{BOQ}=\theta$を満たす点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとる．また，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$から線分$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)三角形$\mathrm{OPR}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき，五角形$\mathrm{ORPQS}$の面積の最大値を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．

$a$を正の実数とする．座標平面上で連立不等式
\[ y \leqq x^2,\quad y \geqq ax,\quad -1 \leqq x \leqq 0 \]
の表す領域の面積を$S_1$とし，連立不等式
\[ y \geqq x^2,\quad y \leqq ax \]
の表す領域の面積を$S_2$とする．このとき，面積の差$S_1-S_2$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=\sqrt{3} \cos^2 \theta+(1-\sqrt{3}) \cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$の最大値，最小値を求めよ．ただし，最大値，最小値をとる$\theta$の値は求めなくてよい．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^2-4}$の和を求めよ．

条件${0}^{\circ} \leqq a \leqq {180}^{\circ}$を満たす$a$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\sin (x+a)-\sqrt{3} \cos (x+a) \]
と定める．$x$が$0^\circ \leqq x \leqq {90}^\circ$の範囲を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

実数$a,\ b,\ c$が
\[ a+b+c=8,\quad a^2+b^2+c^2=32 \]
を満たすとき，実数$c$の最大値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．