次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とするとき，$\sin^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta+3 \cos^2 \theta$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[　]$．
(2)$\displaystyle 2014+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+\cdots +\frac{n}{4^{n-1}} (n \geqq 2)$の値を求めると$[　]$．
(3)$0 \leqq a \leqq 3$とするとき，$\displaystyle \int_{-3}^3 |x(x-a)| \, dx$の最大値$M$と，それを与える$a$の値を求めると$(M,\ a)=[　]$．

下図のように半径$1$の円$C_1$の内部に半径$x$の円$C_2$と半径$(1-x)$の円$C_3$が内接している．ただし$0<x<1$とする．円$C_1$の内部で円$C_2$と円$C_3$の外部の部分（図の斜線部分）の面積の最大値を求めよ．
（図は省略）

座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．

座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．

座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．関数
\[ y=2 \sin 2\theta-2 \sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)+2 \]
について，$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．また，$y$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(2)$3$つの不等式
\[ \log_y (x^2-3x+2) \leqq 1,\quad 0<x \leqq 3,\quad 0<y<1 \]
を同時にみたす領域を$xy$平面上に図示せよ．

条件$a_1=0$，$a_{n+1}=4a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$がある．関数$f_n(x)$と$g(x)$が
\[ \begin{array}{l}
f_n(x)=a_nx^2+a_n+1 \\
g(x)=x^3+3x^2-9x+4 \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
で定義されるとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(2)関数$y=|f_2(x)-g(x)|$のグラフをかけ．また，$-3 \leqq x \leqq 3$の範囲で$y$の値の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

条件$a_1=0$，$a_{n+1}=4a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$がある．関数$f_n(x)$と$g(x)$が
\[ \begin{array}{l}
f_n(x)=a_nx^2+a_n+1 \\
g(x)=x^3+3x^2-9x+4 \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
で定義されるとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(2)関数$y=|f_2(x)-g(x)|$のグラフをかけ．また，$-3 \leqq x \leqq 3$の範囲で$y$の値の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ．また，$\sin 8\theta$の値を求めよ．
(2)$t=\cos \theta$とおく．関数$\displaystyle y=-\frac{8}{9} \sin^2 \frac{\theta}{2}-\frac{4}{9} \sin^2 \theta+\frac{1}{2}$を$t$の関数として表せ．
(3)$(2)$の関数$y$の$0 \leqq \theta<2\pi$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-3x+6$があり，$C$上の点で$x$座標が$t$と$2t$であるものをそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし$t>0$とする．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が一直線上にあるときの$t$の値を$t_0$とおく．$t_0$の値を求めよ．
(2)$t=t_0$のとき，$\triangle \mathrm{OAQ}$の周および内部と，不等式$\displaystyle y \geqq \frac{1}{2}x^2-3x+6$の表す領域との共通部分の面積を求めよ．
(3)$0<t<t_0$を満たす$t$に対して，$\triangle \mathrm{APQ}$の面積を$S(t)$とおくとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．