「最大値」について
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公立 高崎経済大学 2015年 第4問連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 100,\quad y \geqq -\sqrt{3}x+10 \sqrt{3} \]
の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2 \leqq 100,\quad y \geqq -\sqrt{3}x+10 \sqrt{3} \]
の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$t$を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数$f(x)$を
\[ f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18 \]
と定める．このとき，関数$f(x)$の最大値を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$の「関数$f(x)$の最大値」を$g(t)$とする．$t$が$\displaystyle t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$の範囲を動くとき，$g(t)$の最小値を求めよ．
(1)$t$を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数$f(x)$を
\[ f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18 \]
と定める．このとき，関数$f(x)$の最大値を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$の「関数$f(x)$の最大値」を$g(t)$とする．$t$が$\displaystyle t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$の範囲を動くとき，$g(t)$の最小値を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第3問座標平面上の楕円
\[ \frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1 \quad \cdots\cdots① \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)楕円$①$と直線$y=x+a$が交点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$|x|+|y|=1$を満たす点$(x,\ y)$全体がなす図形の概形をかけ．
(3)点$(x,\ y)$が楕円$①$上を動くとき，$|x|+|y|$の最大値，最小値とそれを与える$(x,\ y)$をそれぞれ求めよ．
\[ \frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1 \quad \cdots\cdots① \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)楕円$①$と直線$y=x+a$が交点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$|x|+|y|=1$を満たす点$(x,\ y)$全体がなす図形の概形をかけ．
(3)点$(x,\ y)$が楕円$①$上を動くとき，$|x|+|y|$の最大値，最小値とそれを与える$(x,\ y)$をそれぞれ求めよ．
国立 名古屋大学 2014年 第3問実数$t$に対して$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t+1,\ (t+1)^2)$を考える．
(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a$は定数とし，直線$x=a$と$\ell$の交点の$y$座標を$t$の関数と考えて$f(t)$とおく．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くときの$f(t)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．
(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a$は定数とし，直線$x=a$と$\ell$の交点の$y$座標を$t$の関数と考えて$f(t)$とおく．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くときの$f(t)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．
国立 北海道大学 2014年 第5問$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}} |\sin \theta| \, d\theta$とおく．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第4問関数$f(x)=e^{\sin x}(\sin 2x-2 \cos x)$について，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x<2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき$(x^2+2x-2)e^x \geqq f(x)$が成り立つことを示せ．
(1)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$の値を求めよ．
(2)$0 \leqq x<2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき$(x^2+2x-2)e^x \geqq f(x)$が成り立つことを示せ．
国立 千葉大学 2014年 第4問関数$f(x)=x^x (x>0)$と正の実数$a$について，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$f(x)f(1-x)$の最大値および最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$\displaystyle \frac{f(x)f(1-x)f(a)}{f(ax)f(a(1-x))}$の最小値を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$f(x)f(1-x)$の最大値および最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$\displaystyle \frac{f(x)f(1-x)f(a)}{f(ax)f(a(1-x))}$の最小値を求めよ．
国立 岡山大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x,\ y$に対して$x^2+y^2+2axy+2bx+1 \geqq 0$が成り立つとする．このとき，実数$a,\ b$が満たすべき条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$のなす領域を座標平面上に図示せよ．
(2)$(1)$の領域を点$(a,\ b)$が動くとき$a^2+b$の最大値と最小値を求めよ．
(1)すべての実数$x,\ y$に対して$x^2+y^2+2axy+2bx+1 \geqq 0$が成り立つとする．このとき，実数$a,\ b$が満たすべき条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$のなす領域を座標平面上に図示せよ．
(2)$(1)$の領域を点$(a,\ b)$が動くとき$a^2+b$の最大値と最小値を求めよ．
国立 東北大学 2014年 第4問実数$x,\ y$に対して
\[ A=2 \sin x+\sin y,\quad B=2 \cos x+\cos y \]
とおく．
(1)$\cos (x-y)$を$A,\ B$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$が$A=1$を満たしながら変化するとき，$B$の最大値と最小値，およびそのときの$\sin x$，$\cos x$の値を求めよ．
\[ A=2 \sin x+\sin y,\quad B=2 \cos x+\cos y \]
とおく．
(1)$\cos (x-y)$を$A,\ B$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$が$A=1$を満たしながら変化するとき，$B$の最大値と最小値，およびそのときの$\sin x$，$\cos x$の値を求めよ．
国立 熊本大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，
\[ \angle \mathrm{BAC}=\theta,\quad \mathrm{AB}=\sin \theta,\quad \mathrm{AC}=|\cos \theta| \]
とする．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$または$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{BC}^2$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．
\[ \angle \mathrm{BAC}=\theta,\quad \mathrm{AB}=\sin \theta,\quad \mathrm{AC}=|\cos \theta| \]
とする．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$または$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{BC}^2$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．