「最大値」について
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私立 沖縄国際大学 2015年 第3問以下の各問に答えなさい．
(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=-3x^2+2x-1 \]
(2)関数$f(x)=x^2-12x+c$が$2 \leqq x \leqq 9$において最大値が$12$になるように，定数$c$の値を求めよ．
(3)縦横$13$本の線を持つ碁盤（$13$路盤）がある．各線によって構成される枠の大きさはすべて等しく，$1$辺が$1 \, \mathrm{cm}$である．ここで，$4$つの角を左上から反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とした場合，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$の場所に碁石を配置した．ただし，$\mathrm{AE}=x$，$\mathrm{BF}=2x$，$\mathrm{CG}=x+6 (0<x<6)$であるようにする．このとき，三角形$\mathrm{EFG}$の面積が最小になる場合の$x$の値と，その面積を求めよ．
（図は省略）
(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=-3x^2+2x-1 \]
(2)関数$f(x)=x^2-12x+c$が$2 \leqq x \leqq 9$において最大値が$12$になるように，定数$c$の値を求めよ．
(3)縦横$13$本の線を持つ碁盤（$13$路盤）がある．各線によって構成される枠の大きさはすべて等しく，$1$辺が$1 \, \mathrm{cm}$である．ここで，$4$つの角を左上から反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とした場合，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$の場所に碁石を配置した．ただし，$\mathrm{AE}=x$，$\mathrm{BF}=2x$，$\mathrm{CG}=x+6 (0<x<6)$であるようにする．このとき，三角形$\mathrm{EFG}$の面積が最小になる場合の$x$の値と，その面積を求めよ．
（図は省略）
公立 首都大学東京 2015年 第3問座標平面において楕円$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$C$に接する傾き$m$の直線の方程式をすべて求めなさい．
(2)すべての辺が$C$に接する長方形の$1$辺の傾きが$m$であるとする．この長方形の面積$S(m)$を求めなさい．
(3)$m$がすべての実数を動くとき，$(2)$で求めた$S(m)$の最大値を求めなさい．
(1)$C$に接する傾き$m$の直線の方程式をすべて求めなさい．
(2)すべての辺が$C$に接する長方形の$1$辺の傾きが$m$であるとする．この長方形の面積$S(m)$を求めなさい．
(3)$m$がすべての実数を動くとき，$(2)$で求めた$S(m)$の最大値を求めなさい．
公立 首都大学東京 2015年 第2問関数
\[ f(x)=\sqrt{2} \sin x-\sqrt{2} \cos x-\sin 2x \]
に対して，以下の問いに答えなさい．
(1)$\displaystyle t=\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表しなさい．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．
(3)方程式$f(x)=a$が$0 \leqq x<2\pi$の範囲で相異なる$2$つの解をもつための実数$a$の条件を求めなさい．
\[ f(x)=\sqrt{2} \sin x-\sqrt{2} \cos x-\sin 2x \]
に対して，以下の問いに答えなさい．
(1)$\displaystyle t=\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表しなさい．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．
(3)方程式$f(x)=a$が$0 \leqq x<2\pi$の範囲で相異なる$2$つの解をもつための実数$a$の条件を求めなさい．
公立 岡山県立大学 2015年 第3問関数$f(x)=(1-x)e^{2x}$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=1-x$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との交点は$(0,\ 1)$のみであることを示せ．
(1)$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=1-x$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との交点は$(0,\ 1)$のみであることを示せ．
公立 公立はこだて未来大学 2015年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)正弦，余弦に関する加法定理
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を用いて等式
\[ \sin 3x=3 \sin x-4 \sin^3 x \]
を証明せよ．
(2)関数$y=\sin 3x+3 \cos 2x+6 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値をすべて求めよ．
(1)正弦，余弦に関する加法定理
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を用いて等式
\[ \sin 3x=3 \sin x-4 \sin^3 x \]
を証明せよ．
(2)関数$y=\sin 3x+3 \cos 2x+6 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値をすべて求めよ．
公立 富山県立大学 2015年 第1問$a>0$とし，$2$次関数$f(x)=x^2-2ax+2a (0 \leqq x \leqq 2)$の最小値を$m(a)$とする．このとき，$m(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
公立 奈良県立医科大学 2015年 第2問$f(x)=\sin^3 x+\cos^3 x-3 \sin x \cos x$の最大値と最小値を求めよ．
公立 高知工科大学 2015年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$について，次の各問に答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)実数$a,\ b$が条件$-2 \leqq a \leqq b \leqq 2$を満たして変化するとき，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$の最大値とそのときの$a,\ b$の値を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)実数$a,\ b$が条件$-2 \leqq a \leqq b \leqq 2$を満たして変化するとき，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$の最大値とそのときの$a,\ b$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第3問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{4}} |2 \cos^2 t+2 \sin t \cos t-1| \, dt$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．