「最大値」について
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私立 広島女学院大学 2015年 第2問$a$と$b$を定数とし，$2$次関数$y=-x^2+ax+a+b$のグラフを$F$とする．次の問いに答えよ．
(1)グラフ$F$の軸を求めよ．
(2)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有するとき，$a$と$b$の関係を求めよ．
(3)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有し，そのうち$1$つの$x$座標が$3$であるとする．このとき，$b$を$a$で表すと$b=[ ]$である．また，もう$1$つの共有点の$x$座標は$[ ]$である．
(4)$(3)$で求めた$x$座標が，区間$-3 \leqq x \leqq 0$に含まれるとき，$a$の範囲は$[ ]$である．また，このとき，グラフ$F$の頂点の$y$座標の最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
(1)グラフ$F$の軸を求めよ．
(2)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有するとき，$a$と$b$の関係を求めよ．
(3)グラフ$F$と$x$軸が異なる$2$点を共有し，そのうち$1$つの$x$座標が$3$であるとする．このとき，$b$を$a$で表すと$b=[ ]$である．また，もう$1$つの共有点の$x$座標は$[ ]$である．
(4)$(3)$で求めた$x$座標が，区間$-3 \leqq x \leqq 0$に含まれるとき，$a$の範囲は$[ ]$である．また，このとき，グラフ$F$の頂点の$y$座標の最大値は$[ ]$，最小値は$[ ]$である．
私立 崇城大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$2$次方程式$(a-1)x^2+2(a+1)x+a+2=0$が重解をもつとき，定数$a$の値とその重解を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$で，$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=-\frac{1}{4}$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$x,\ y$が$x^2+y^2=4$を満たすとき，$2x+y^2$の最大値と最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)$2$次方程式$(a-1)x^2+2(a+1)x+a+2=0$が重解をもつとき，定数$a$の値とその重解を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$で，$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=-\frac{1}{4}$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$x,\ y$が$x^2+y^2=4$を満たすとき，$2x+y^2$の最大値と最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
私立 崇城大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$6$枚のカード$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$4$}$が入った袋から，同時に$4$枚のカードを取り出す．ただし，同じ数字が書かれたカードは区別しないものとする．
(i) 取り出し方は何通りあるか．
(ii) 取り出したカードを並べて$4$桁の整数を作るとき，$3300$より大きい整数はいくつできるか．
(2)次の各問に答えよ．
(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\cos \theta+\sin \theta$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(ii) $x \geqq 0$，$y \geqq 0$とする．$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$x^2+2xy-y^2$の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)$6$枚のカード$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$3$}$，$\fbox{$4$}$が入った袋から，同時に$4$枚のカードを取り出す．ただし，同じ数字が書かれたカードは区別しないものとする．
(i) 取り出し方は何通りあるか．
(ii) 取り出したカードを並べて$4$桁の整数を作るとき，$3300$より大きい整数はいくつできるか．
(2)次の各問に答えよ．
(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\cos \theta+\sin \theta$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(ii) $x \geqq 0$，$y \geqq 0$とする．$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$x^2+2xy-y^2$の最大値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
私立 崇城大学 2015年 第2問$k$を正の定数とする．放物線$y=-x^2-2x+3 \cdots\cdots①$と直線$y=k \cdots\cdots②$について，次の各問に答えよ．
(1)放物線$①$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)放物線$①$と直線$②$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっているとき，原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結んでできる$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．
(1)放物線$①$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)放物線$①$と直線$②$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっているとき，原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結んでできる$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．
私立 京都薬科大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．
(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．
私立 中京大学 2015年 第2問$2$次関数$y=2x^2-4x+a^2+a$のグラフが$x$軸に接するとき，定数$a$の値は$-[ア]$，$[イ]$であり，このとき，この関数の$0 \leqq x \leqq 3$における最大値は$[ウ]$である．
私立 東京薬科大学 2015年 第2問次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)座標平面上に$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と，その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=x^2+a$，$C_3:y=bx^2$がある．
(i) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(ii) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^{\frac{2}{3}}$である．
(iii) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle b=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．
(2)$p$を負でない実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \]
の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．$p=0$のとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$であり，
$p>0$のとき，$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$[$*$ネ] \sqrt{[ノ]}$であるから，$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]} \pi$である．
(1)座標平面上に$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と，その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=x^2+a$，$C_3:y=bx^2$がある．
(i) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
(ii) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^{\frac{2}{3}}$である．
(iii) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle b=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．
(2)$p$を負でない実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \]
の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．$p=0$のとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$であり，
$p>0$のとき，$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$[$*$ネ] \sqrt{[ノ]}$であるから，$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]} \pi$である．
私立 東京薬科大学 2015年 第3問次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
方程式$x^2+y^2=1$を満たしながら動く正の実数$x,\ y$がある．
(1)$\sqrt{3}x+y$のとり得る値の最大値は$[フ]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$，$\displaystyle y=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$\log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値は$[$*$ム]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[メ]}}{[モ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヤ]}}{[ユ]}$である．
(3)$\displaystyle \log_3 x+\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{y}$のとり得る値の最大値は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \log_3 [リ]+\frac{[$*$ル]}{[レ]} \right)$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ロ]}}{[ワ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヲ]}}{[ン]}$である．
方程式$x^2+y^2=1$を満たしながら動く正の実数$x,\ y$がある．
(1)$\sqrt{3}x+y$のとり得る値の最大値は$[フ]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$，$\displaystyle y=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$\log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値は$[$*$ム]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[メ]}}{[モ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヤ]}}{[ユ]}$である．
(3)$\displaystyle \log_3 x+\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{y}$のとり得る値の最大値は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \log_3 [リ]+\frac{[$*$ル]}{[レ]} \right)$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ロ]}}{[ワ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヲ]}}{[ン]}$である．
私立 龍谷大学 2015年 第3問一辺$30 \, \mathrm{cm}$の正方形の厚紙の四隅から，一辺の長さが$x \, \mathrm{cm}$の正方形を切り取って，その残りを折り曲げ，ふたのない直方体の箱を作る．この箱の容積を$V(x) \, \mathrm{cm}^3$とする．
(1)$V(x)$の最大値を求めなさい．
(2)$V(x)=1000$となるときの$x$の値をすべて求めなさい．
(1)$V(x)$の最大値を求めなさい．
(2)$V(x)=1000$となるときの$x$の値をすべて求めなさい．
私立 沖縄国際大学 2015年 第3問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$-2$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=x^2-4x+12 \]
(2)実数$x,\ y$について$4$次関数$y=(x^2+4x)^2+4x^2+16x+5$において，$-3 \leqq x \leqq 1$における最大値，最小値を求めよ．
(3)菱形の凧を作成したい．使用できる凧の骨が$14 \, \mathrm{cm}$で，凧の骨は対角線に配置する．このとき，凧の大きさ（面積）の最大値を求めよ．また，周の長さの最小値も求めよ．
(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$-2$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=x^2-4x+12 \]
(2)実数$x,\ y$について$4$次関数$y=(x^2+4x)^2+4x^2+16x+5$において，$-3 \leqq x \leqq 1$における最大値，最小値を求めよ．
(3)菱形の凧を作成したい．使用できる凧の骨が$14 \, \mathrm{cm}$で，凧の骨は対角線に配置する．このとき，凧の大きさ（面積）の最大値を求めよ．また，周の長さの最小値も求めよ．