次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)さいころを$n$回投げて，第$1$回から第$n$回までに出た目$n$個の積を$X_n$とする．$X_n$が$3$で割り切れる確率は$[ア]$であり，$X_n$が$2$で割り切れる確率は$[イ]$である．また，$X_n$が$6$で割り切れる確率を$p_n$とすると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (1-p_n)=[ウ]$である．
(2)連立不等式
\[ x^2+4y^2 \leqq 4,\quad x+2y \geqq 2 \]
の表す領域を$D$とする．点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2x+y$の最小値は$[エ]$である．また，最大値は$[オ]$であり，そのときの$x,\ y$は$x=[カ]$，$y=[キ]$である．
(3)正整数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 nx \, dx=[ク]$であり，異なる正整数$m,\ n$に対しては$\displaystyle \int_0^\pi \sin mx \sin nx \, dx=[ケ]$である．したがって，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{15} n \sin nx$とすると$\displaystyle \int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=[コ]$である．

$a$が実数であるとき，$f(x)=x^2-ax+a-1$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値が$0$であるという．

(1)$a=0$のとき，このことが成り立つことを示せ．
(2)上の条件が成り立つための$a$の値をすべて求めよ．
(3)$a \leqq 0$のとき，$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)実数$a,\ b$に関する条件「$a>2$かつ$b \leqq 1$」の否定であるものを次のア～エのうちからひとつ選び，その記号を$[$\mathrm{A]$}$に書きなさい．ただし，該当するものがない場合は「該当なし」と書きなさい．

ア：「$a>2$または$b \leqq 1$」 \qquad イ：「$a \leqq 2$または$b>1$」
ウ：「$a<2$または$b \geqq 1$」 \qquad エ：「$a \leqq 2$かつ$b>1$」

(2)$x$についての整式$P(x)=x^3+kx^2+x+2$を$x-3$で割った余りが$k$となるような定数$k$の値は$k=[$\mathrm{B]$}$である．
(3)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$で，$\tan \alpha=3$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2 \alpha +\frac{\pi}{3} \right)$の値を$c$とすると，$c=[$\mathrm{C]$}$である．
(4)正の実数$x,\ y$が，$x^2+4y=1$を満たすとき，$2 \log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値を$d$とすると，$d=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$t$を実数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}|=7$，$|\overrightarrow{b}|=6$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=9$であるとき，$|(1-2t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の値を$[あ]$で求めなさい．

次の問いに答えなさい．

$a,\ b$を正の実数の定数とし，$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える．$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．また，$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする．
(1)$C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき，$q$は，$a$と$b$を用いて表すと$q=[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする．このとき，$r$は，$a$と$b$を用いて表すと$r=[$\mathrm{G]$}$である．また，大小$2$個のさいころを投げ，大きいさいころの出た目の数を$a$の値，小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき，$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=[$\mathrm{H]$}$である．ただし，大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
(4)$C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき，その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする（$\alpha<\beta$）．$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり，かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$，$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき，$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$[い]$で求めなさい．

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=2 \log_2 (2-x)+\log_2 x$は$\displaystyle x=\frac{[$16$]}{[$17$]}$で最大値
\[ [$18$]-[$19$] \log_2 [$20$] \]
をとる．
(2)$\log_2 5=2.32$，$\log_2 11=3.46$，$m$と$n$を正の整数，$0<a<1$とするとき，
\[ \log_2 113=m \left( m-\frac{1}{2} \right)+n+a \]
と表すことができるような$(m,\ n)$の組合せは，$m$の値の小さいほうから順に，$([$21$],\ [$22$])$と$([$23$],\ [$24$])$である．

$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=4 \cos^2 \frac{\theta}{2}-\cos 2\theta+1$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=(\log_2 x)^2-\log_2 x^2-1 \left( \frac{1}{4} \leqq x \leqq 8 \right)$がある．

$x=[サ]$のとき，$f(x)$は最大値$[シ]$をとり，
$x=[ス]$のとき，$f(x)$は最小値$[セ]$をとる．

次の問について，答えを$[　]$内に記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとき，$\sqrt{3}x+y$の最小値は$[ア]$であり，$x^2+2xy+3y^2$の最大値は$[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(-4,\ 16)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$がある．$a>0$かつ$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるとき，$a=[ウ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[エ]$である．

次の問について，答えを$[　]$内に記入せよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$2 \sin^2 x+\sin 2x$は$x=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)$1$から$9$までの数を$1$つずつ書いた$9$枚の札の中から，同時に$3$枚を引く．その$3$枚の札の数の積が，偶数になる確率は$[ウ]$であり，$6$の倍数になる確率は$[エ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=(1-3 \sin^2 x) \cos x-1$について，$t=\cos x$とおくとき$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$a$を正の定数とする．関数$g(x)=(1-a \sin^2 x) \cos x-1$の最大値が$(2)$で求めた$M$に等しいとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．