「最大値」について
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私立 早稲田大学 2015年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)数列$\{a_n\}$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす．
(i) $a_1=0,\quad a_n \leqq 0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$
(ii) $\displaystyle n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \left( x+\frac{1}{2} \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$のとき，$a_n=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^7 \log_2 \cos \frac{k\pi}{16}=[イ]$
(3)実数$x,\ y$が，$|x|+|y|=1$を満たしているとき，
\[ |7x-3y|+|5x-11y| \]
の最大値は$[ウ]$である．
(4)関数$f(x)=1-2 |x|$を考える．次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす実数$a$は全部で$[エ]$個ある．
(i) $f(a) \neq a$
(ii) $f(f(f(a)))=a$
(1)数列$\{a_n\}$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす．
(i) $a_1=0,\quad a_n \leqq 0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$
(ii) $\displaystyle n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \left( x+\frac{1}{2} \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$のとき，$a_n=[ア]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^7 \log_2 \cos \frac{k\pi}{16}=[イ]$
(3)実数$x,\ y$が，$|x|+|y|=1$を満たしているとき，
\[ |7x-3y|+|5x-11y| \]
の最大値は$[ウ]$である．
(4)関数$f(x)=1-2 |x|$を考える．次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たす実数$a$は全部で$[エ]$個ある．
(i) $f(a) \neq a$
(ii) $f(f(f(a)))=a$
私立 広島工業大学 2015年 第4問放物線$y=x^2+ax+b$と$x$軸との交点の座標は$(\sin \theta,\ 0)$，$(\sqrt{3} \cos \theta,\ 0)$である．この放物線と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とし，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(1)$a,\ b$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$S$の値を求めよ．
(3)$S$の最大値を求めよ．
(1)$a,\ b$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$S$の値を求めよ．
(3)$S$の最大値を求めよ．
私立 広島工業大学 2015年 第6問次の問いに答えよ．
(1)不等式$6-x^2 \geqq |x|$を解け．
(2)$(1)$の範囲で，関数$y=x^2-2 |x|-1$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(1)不等式$6-x^2 \geqq |x|$を解け．
(2)$(1)$の範囲で，関数$y=x^2-2 |x|-1$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
私立 広島工業大学 2015年 第8問$1$回の試行において，事象$A$が起こる確率を$3-5p$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p$の条件を求めよ．
(2)$2$回の試行において，事象$A$が$1$回だけ起こる確率$f(p)$を求めよ．
(3)$f(p)$の最大値，およびそのときの$p$の値を求めよ．
(1)$p$の条件を求めよ．
(2)$2$回の試行において，事象$A$が$1$回だけ起こる確率$f(p)$を求めよ．
(3)$f(p)$の最大値，およびそのときの$p$の値を求めよ．
私立 金沢工業大学 2015年 第6問関数$y=3 \cdot 4^x-3 \cdot 2^{x+1}+8 (0 \leqq x \leqq 2)$について，$2^x=t$とする．
(1)$t$のとりうる値の範囲は$[サ] \leqq t \leqq [シ]$である．
(2)$y=[ス]t^2-[セ]t+[ソ] ([サ] \leqq t \leqq [シ])$である．
(3)$y$は$t=[タ]$のとき，すなわち，$x=[チ]$のとき，最大値$[ツテ]$をとり，$t=[ト]$のとき，すなわち，$x=[ナ]$のとき，最小値$[ニ]$をとる．
(1)$t$のとりうる値の範囲は$[サ] \leqq t \leqq [シ]$である．
(2)$y=[ス]t^2-[セ]t+[ソ] ([サ] \leqq t \leqq [シ])$である．
(3)$y$は$t=[タ]$のとき，すなわち，$x=[チ]$のとき，最大値$[ツテ]$をとり，$t=[ト]$のとき，すなわち，$x=[ナ]$のとき，最小値$[ニ]$をとる．
私立 金沢工業大学 2015年 第4問半径が$1$の球に内接する直円柱を考え，この直円柱の底面の半径を$x$とし，体積を$V$とする．
(1)$V=[ケ] \pi x^2 \sqrt{[コ]-x^2}$である．
(2)$\displaystyle \frac{dV}{dx}=\frac{[サ] \pi x(2-[シ]x^2)}{\sqrt{[ス]-x^2}}$である．
(3)$V$が最大になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$のときであり，その最大値は$\displaystyle \frac{[タ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]} \pi$である．
(1)$V=[ケ] \pi x^2 \sqrt{[コ]-x^2}$である．
(2)$\displaystyle \frac{dV}{dx}=\frac{[サ] \pi x(2-[シ]x^2)}{\sqrt{[ス]-x^2}}$である．
(3)$V$が最大になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$のときであり，その最大値は$\displaystyle \frac{[タ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]} \pi$である．
私立 学習院大学 2015年 第3問関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{x} \quad (x>0) \]
を考える．
(1)$x$が正の実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
\[ \int_1^n f(x) \, dx>2 \]
を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，自然対数の底$e$は$2.7<e<2.8$を満たすことを用いてよい．
\[ f(x)=\frac{\log x}{x} \quad (x>0) \]
を考える．
(1)$x$が正の実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
\[ \int_1^n f(x) \, dx>2 \]
を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，自然対数の底$e$は$2.7<e<2.8$を満たすことを用いてよい．
私立 学習院大学 2015年 第4問放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$L$とする．$t$が$0<t \leqq 1$の範囲を動くとき，$L$と直線$x=1$と$x$軸とで囲まれる三角形の面積の最大値と，最大値を与える$t$の値を求めよ．
私立 愛知学院大学 2015年 第2問$x$の関数$y=-3x^2+4ax-a$の最大値を$M$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数であり，$x$は$0 \leqq x \leqq 3$の範囲の変数である．
(1)$a=3$のとき，$M$の値を求めなさい．
(2)$0<a<3$のとき，$M$を$a$を用いて表しなさい．
(1)$a=3$のとき，$M$の値を求めなさい．
(2)$0<a<3$のとき，$M$を$a$を用いて表しなさい．
私立 東京理科大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)$a$を実数の定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える．区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$，$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$，$g^\prime(a)$を用いて表しなさい．
(1)$a$を実数の定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える．区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$，$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$，$g^\prime(a)$を用いて表しなさい．