「最大値」について
タグ「最大値」の検索結果
（25ページ目：全1143問中241問～250問を表示）
私立 自治医科大学 2015年 第22問関数$\displaystyle f(x)=\frac{2ax}{x^2-ax+1}$（$|a|<2$，$a$は実数）の最大値が$2$となるとき，$a$のとる値は，$p$と$q$の$2$つ存在する．$|p-q|$の値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問$\mathrm{M}$社はブドウを栽培し，それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している，としよう．一般には，企業の業績には，社内のさまざまな活動だけでなく，社外の要因も大きくかかわっている．しかしながら，ここでは，問題が複雑にならないように，一部の活動に限定して，$\mathrm{M}$社の醸造計画を考えてみよう．
栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．
(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．
(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
私立 倉敷芸術科学大学 2015年 第6問連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
4x-y \leqq 2 \\
x+y \geqq 3 \\
x-y \geqq -7
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とするとき，次の設問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$y-2x$のとる値の最大値と最小値を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
4x-y \leqq 2 \\
x+y \geqq 3 \\
x-y \geqq -7
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とするとき，次の設問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$y-2x$のとる値の最大値と最小値を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2015年 第5問$0 \leqq x \leqq 3$のとき，次の$x$の関数の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1}{5-x}+\frac{1}{3+x} \]
\[ f(x)=\frac{1}{5-x}+\frac{1}{3+x} \]
私立 中央大学 2015年 第3問関数$f(x)=|x^2-2x-3|-x$について，以下の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 4$における最大値および最小値を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 4$における最大値および最小値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また$(1)$，$(3)$に答えなさい．
以下，数列$\{a_n\}$が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての$n$に対して$a_n=0$となることをいう．ただし，$a_n$はすべて実数とする．また，数列$\{a_n\}$を一つの文字で表すときは$A=\{a_n\}$あるいは$A=(a_1,\ a_2,\ \cdots)$のように書く．数列$A=\{a_n\}$が長さ有限のとき，$a_n \neq 0$となるような自然数$n$の最大値を数列$A$の「長さ」と呼ぶ．ただし，すべての$n$に対して$a_n=0$である数列の長さは$0$とする．
数列$A=\{a_n\}$，$B=\{b_n\}$，および実数$c$に対して
\[ A+B=\{a_n+b_n\},\quad cA=\{ca_n\} \]
により新しい数列$A+B$および$cA$を定義する．また，$A$，$B$がともに長さ有限のときに限って$A$と$B$との「内積」$A \cdot B$および「距離」$\overline{AB}$をそれぞれ
\[ A \cdot B=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n,\quad \overline{AB}=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)^2} \]
により定める．$\displaystyle \left( \sum_{n=1}^\infty \text{は実際には有限個の数の和である．} \right)$
さて，
\[ A(0)=(0,\ 0,\ 0,\ \cdots),\quad A(1)=(1,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
であるとし，さらに$s=2,\ 3,\ \cdots$に対して長さ$s$の数列
\[ A(s)=(a(s)_1,\ a(s)_2,\ \cdots,\ a(s)_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
が定まっていて$a(s)_n>0 (n=1,\ 2,\ \cdots,\ s)$かつ
\[ \overline{A(s)A(t)}=1 \quad (s \neq t \text{かつ}s,\ t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$s \geqq 1$ならば$A(s) \cdot A(s)=1$であり，また，$t>s \geqq 1$ならば$\displaystyle A(s) \cdot A(t)=\frac{1}{2}$であることを示しなさい．ただし，$A(s)=\{a_n\}$，$A(t)=\{b_n\}$とおきなさい．
(2)$A(2),\ A(3)$を求めると
$A(2)=\left( [あ],\ [い],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$，
$A(3)=\left( [う],\ [え],\ [お],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$
である．
(3)$t>s \geqq 2$ならば数列$A(t)$と数列$A(s)$の初めの$s-1$項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列$A(s)$の初めの$s$項を$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_s$，数列$A(t)$の初めの$t$項を$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_t$とおき，また，$s$と$t$以外のすべての$i \geqq 1$について数列$A(i)$の初めの$i$項を$c(i)_1,\ c(i)_2,\ \cdots,\ c(i)_i$とおきなさい．
(4)$t=1,\ 2,\ \cdots$に対して長さ$t$の数列$B(t)$を
\[ B(t)=\frac{1}{t+1} \left\{ A(1)+A(2)+\cdots +A(t) \right\}=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^t A(i) \]
により定めると，$s=1,\ 2,\ \cdots,\ t$に対して$A(s) \cdot B(t)=[か]$である．
(5)$(3)$で示されたことから，$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$が定まって，すべての$s \geqq 2$に対して$A(s)$は
\[ A(s)=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{s-1},\ y_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
と表される．$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}$を$s$の式で表すと$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}=[き]$である．また，$x_s$を$s$の式で表すと$x_s=[く]$となる．
以下，数列$\{a_n\}$が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての$n$に対して$a_n=0$となることをいう．ただし，$a_n$はすべて実数とする．また，数列$\{a_n\}$を一つの文字で表すときは$A=\{a_n\}$あるいは$A=(a_1,\ a_2,\ \cdots)$のように書く．数列$A=\{a_n\}$が長さ有限のとき，$a_n \neq 0$となるような自然数$n$の最大値を数列$A$の「長さ」と呼ぶ．ただし，すべての$n$に対して$a_n=0$である数列の長さは$0$とする．
数列$A=\{a_n\}$，$B=\{b_n\}$，および実数$c$に対して
\[ A+B=\{a_n+b_n\},\quad cA=\{ca_n\} \]
により新しい数列$A+B$および$cA$を定義する．また，$A$，$B$がともに長さ有限のときに限って$A$と$B$との「内積」$A \cdot B$および「距離」$\overline{AB}$をそれぞれ
\[ A \cdot B=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n,\quad \overline{AB}=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)^2} \]
により定める．$\displaystyle \left( \sum_{n=1}^\infty \text{は実際には有限個の数の和である．} \right)$
さて，
\[ A(0)=(0,\ 0,\ 0,\ \cdots),\quad A(1)=(1,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
であるとし，さらに$s=2,\ 3,\ \cdots$に対して長さ$s$の数列
\[ A(s)=(a(s)_1,\ a(s)_2,\ \cdots,\ a(s)_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
が定まっていて$a(s)_n>0 (n=1,\ 2,\ \cdots,\ s)$かつ
\[ \overline{A(s)A(t)}=1 \quad (s \neq t \text{かつ}s,\ t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$s \geqq 1$ならば$A(s) \cdot A(s)=1$であり，また，$t>s \geqq 1$ならば$\displaystyle A(s) \cdot A(t)=\frac{1}{2}$であることを示しなさい．ただし，$A(s)=\{a_n\}$，$A(t)=\{b_n\}$とおきなさい．
(2)$A(2),\ A(3)$を求めると
$A(2)=\left( [あ],\ [い],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$，
$A(3)=\left( [う],\ [え],\ [お],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$
である．
(3)$t>s \geqq 2$ならば数列$A(t)$と数列$A(s)$の初めの$s-1$項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列$A(s)$の初めの$s$項を$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_s$，数列$A(t)$の初めの$t$項を$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_t$とおき，また，$s$と$t$以外のすべての$i \geqq 1$について数列$A(i)$の初めの$i$項を$c(i)_1,\ c(i)_2,\ \cdots,\ c(i)_i$とおきなさい．
(4)$t=1,\ 2,\ \cdots$に対して長さ$t$の数列$B(t)$を
\[ B(t)=\frac{1}{t+1} \left\{ A(1)+A(2)+\cdots +A(t) \right\}=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^t A(i) \]
により定めると，$s=1,\ 2,\ \cdots,\ t$に対して$A(s) \cdot B(t)=[か]$である．
(5)$(3)$で示されたことから，$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$が定まって，すべての$s \geqq 2$に対して$A(s)$は
\[ A(s)=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{s-1},\ y_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
と表される．$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}$を$s$の式で表すと$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}=[き]$である．また，$x_s$を$s$の式で表すと$x_s=[く]$となる．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．
(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．
(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．
私立 上智大学 2015年 第2問$a$を正の実数とし，関数$f(x)=\sin x+a \sin 3x$を考える．
(1)$a=2$のとき，
\[ f(x)=[オ] \sin x+[カ] \sin^n x,\quad \text{ただし}n=[キ] \]
である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で$f(x)$が最大値をとるときの$a$の範囲は$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\displaystyle a>\frac{[ク]}{[ケ]}$の範囲で，$f(x)$の最大値がもっとも小さくなるのは$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のときである．
このとき$f(x)$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$であり，最大値を与える$x$に対して，$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(1)$a=2$のとき，
\[ f(x)=[オ] \sin x+[カ] \sin^n x,\quad \text{ただし}n=[キ] \]
である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で$f(x)$が最大値をとるときの$a$の範囲は$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\displaystyle a>\frac{[ク]}{[ケ]}$の範囲で，$f(x)$の最大値がもっとも小さくなるのは$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のときである．
このとき$f(x)$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$であり，最大値を与える$x$に対して，$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
私立 上智大学 2015年 第4問$xyz$空間において，$xy$平面上に$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{B}_1(0,\ 1,\ 0),\quad \mathrm{C}_1(-1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{D}_1(0,\ -1,\ 0) \]
を頂点とする正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$がある．$0<\theta<\pi$とし，この正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面上で原点を中心に角$\theta$だけ回転させた後で$z$軸の正の方向に$2$だけ平行移動した正方形を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とする．
動点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が，それぞれ点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$から同時に出発し，正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$の周上を，同じ速さで同じ向きに一周する．このとき，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$が動いてできる曲面と正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とで囲まれる立体を$V$とする．
(1)線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最大値は$\sqrt{[ト]+[ナ] [き]}$であり，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最小値は$\sqrt{[ニ]+[ヌ] [く]}$である．
(2)$0<h<2$とするとき，平面$z=h$による立体$V$の断面は，一辺の長さが
\[ \sqrt{[ネ]+\left( [ノ]h^2+[ハ]h \right) \left( 1-[け] \right)} \]
の正方形であり，その一辺の長さは$h=[ヒ]$のとき最小である．
(3)立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}+\frac{[ホ]}{[マ]} [こ]$である．
(4)$\theta$が$\pi$に限りなく近づくとき，立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$に収束する．
\begin{screen}
$[き]$～$[こ]$の選択肢：
$\mathrm{(a)} \ \sin \theta \quad \mathrm{(b)} \ \cos \theta \quad \mathrm{(c)} \ \tan \theta \quad \mathrm{(d)} \ \sin^2 \theta \quad \mathrm{(e)} \ \cos \theta \sin \theta$
$\displaystyle \mathrm{(f)} \ \frac{1}{\sin \theta} \quad \mathrm{(g)} \ \frac{1}{\cos \theta} \quad \mathrm{(h)} \ \frac{1}{\tan \theta}$
\end{screen}
（図は省略）
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{B}_1(0,\ 1,\ 0),\quad \mathrm{C}_1(-1,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{D}_1(0,\ -1,\ 0) \]
を頂点とする正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$がある．$0<\theta<\pi$とし，この正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面上で原点を中心に角$\theta$だけ回転させた後で$z$軸の正の方向に$2$だけ平行移動した正方形を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とする．
動点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$が，それぞれ点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$から同時に出発し，正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$の周上を，同じ速さで同じ向きに一周する．このとき，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$が動いてできる曲面と正方形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$とで囲まれる立体を$V$とする．
(1)線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最大値は$\sqrt{[ト]+[ナ] [き]}$であり，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さの最小値は$\sqrt{[ニ]+[ヌ] [く]}$である．
(2)$0<h<2$とするとき，平面$z=h$による立体$V$の断面は，一辺の長さが
\[ \sqrt{[ネ]+\left( [ノ]h^2+[ハ]h \right) \left( 1-[け] \right)} \]
の正方形であり，その一辺の長さは$h=[ヒ]$のとき最小である．
(3)立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}+\frac{[ホ]}{[マ]} [こ]$である．
(4)$\theta$が$\pi$に限りなく近づくとき，立体$V$の体積は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$に収束する．
\begin{screen}
$[き]$～$[こ]$の選択肢：
$\mathrm{(a)} \ \sin \theta \quad \mathrm{(b)} \ \cos \theta \quad \mathrm{(c)} \ \tan \theta \quad \mathrm{(d)} \ \sin^2 \theta \quad \mathrm{(e)} \ \cos \theta \sin \theta$
$\displaystyle \mathrm{(f)} \ \frac{1}{\sin \theta} \quad \mathrm{(g)} \ \frac{1}{\cos \theta} \quad \mathrm{(h)} \ \frac{1}{\tan \theta}$
\end{screen}
（図は省略）