「最大値」について
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国立 お茶の水女子大学 2015年 第1問座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心，半径$1$の円を$S$とする．点$\mathrm{P}$が円$S$上を動くとき，$\mathrm{P}$における$S$の接線に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$から下ろした垂線の交点$\mathrm{Q}$のなす軌跡を$C$とする．$x$軸の正の方向に対して$\mathrm{OP}$のなす角を$t$として，$\mathrm{P}$の座標を$(\cos t,\ \sin t)$で表す．このときの$\mathrm{Q}$の座標を$(f(t),\ g(t))$とする．
(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．
(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．
国立 筑波大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)座標平面において，次の連立不等式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y \leqq 1 \\
x-y \leqq 1
\end{array} \right. \]
(2)$2$つの放物線$y=x^2-2x+k$と$y=-x^2+1$が共有点をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x,\ y$が$(1)$の連立不等式を満たすとき，$y-x^2+2x$の最大値および最小値と，それらを与える$x,\ y$の値を求めよ．
(1)座標平面において，次の連立不等式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y \leqq 1 \\
x-y \leqq 1
\end{array} \right. \]
(2)$2$つの放物線$y=x^2-2x+k$と$y=-x^2+1$が共有点をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x,\ y$が$(1)$の連立不等式を満たすとき，$y-x^2+2x$の最大値および最小値と，それらを与える$x,\ y$の値を求めよ．
国立 福島大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
国立 福島大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
国立 山口大学 2015年 第1問曲線$2x^2+y^2-4y=0$を$C$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が曲線$C$上を動くとき，$xy$の最大値と最小値を求めなさい．
国立 山口大学 2015年 第3問曲線$2x^2+y^2-4y=0$を$C$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)曲線$C$の概形をかきなさい．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が曲線$C$上を動くとき，$xy$の最大値と最小値を求めなさい．
(1)曲線$C$の概形をかきなさい．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が曲線$C$上を動くとき，$xy$の最大値と最小値を求めなさい．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第2問実数$a,\ b$に対し，$f(x)=x^3-3ax+b$とおく．$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b \geqq 0$のとき，$M$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が実数全体を動くとき，$M$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b \geqq 0$のとき，$M$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が実数全体を動くとき，$M$のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2015年 第3問実数$a,\ b$に対し，$f(x)=x^3-3ax+b$とおく．$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{3},\ b=1$のとき，$M$を求めよ．
(3)$M=4,\ b=1$となるような$f(x)$をすべて求めよ．
(1)$a>0$のとき，$f(x)$の極値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{3},\ b=1$のとき，$M$を求めよ．
(3)$M=4,\ b=1$となるような$f(x)$をすべて求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第2問連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．
(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第3問$a$は実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2+2ax+3a^2-2a-4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，重解をもつときは$\alpha=\beta$とする．
(1)$\alpha,\ \beta$がともに実数になるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$\alpha^3+\beta^3$の最大値を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta$がともに実数になるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$\alpha^3+\beta^3$の最大値を求めよ．