「最大値」について
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国立 埼玉大学 2015年 第4問$n$は$2$以上の自然数とし，
\[ f(\theta)=\frac{\cos^{n-1}\theta \sin^{n-1}\theta}{\cos^{2n}\theta+\sin^{2n}\theta} \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)$t=\tan^n \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
\[ f(\theta)=\frac{\cos^{n-1}\theta \sin^{n-1}\theta}{\cos^{2n}\theta+\sin^{2n}\theta} \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)$t=\tan^n \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第4問関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{\cos \theta \sin \theta}{\cos^4 \theta+\sin^4 \theta}$について，次の問いに答えよ．
(1)$t=\tan^2 \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$t=\tan^2 \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第3問$e$を自然対数の底とし，$0 \leqq x \leqq e$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_0^2 |e^t-x^2| \, dt$について，次の問いに答えよ．
(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．
(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第3問$e$を自然対数の底とし，$0 \leqq x \leqq e$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_0^2 |e^t-x^2| \, dt$について，次の問いに答えよ．
(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．
(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．
国立 東京工業大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x$とする．頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}^\prime$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第2問関数$f(x)=|x| \sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx$を求めよ．
国立 小樽商科大学 2015年 第3問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．
(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．
国立 弘前大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 弘前大学 2015年 第1問$3$辺の長さが$2,\ 3,\ 4$の三角形について次の問いに答えよ．
(1)内角が最大の頂点を$\mathrm{A}$，最小の頂点を$\mathrm{B}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{A}$，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(2)残りの頂点を$\mathrm{C}$とする．また$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点で，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$をみたすとする．このとき，$\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値と最小値を求めよ．
(1)内角が最大の頂点を$\mathrm{A}$，最小の頂点を$\mathrm{B}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{A}$，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(2)残りの頂点を$\mathrm{C}$とする．また$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点で，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$をみたすとする．このとき，$\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値と最小値を求めよ．