座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$C$とする．$a>2$，$0<\theta<\pi$とし，$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$g(\theta)$の最小値を求めよ．

$\alpha,\ \beta$は$\alpha>0$，$\beta>0$，$\alpha+\beta<1$を満たす実数とする．三つの放物線
\[ C_1:y=x(1-x),\quad C_2:y=x(1-\beta-x),\quad C_3:y=(x-\alpha)(1-x) \]
を考える．$C_2$と$C_3$の交点の$x$座標を$\gamma$とする．また，$C_1$，$C_2$，$C_3$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha,\ \beta$が$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{1}{4}$を満たしながら動くとき，$S$の最大値を求めよ．

座標空間内の$8$点
\[ (0,\ 0,\ 0),\ (1,\ 0,\ 0),\ (1,\ 1,\ 0),\ (0,\ 1,\ 0),\ (0,\ 0,\ 1),\ (1,\ 0,\ 1),\ (1,\ 1,\ 1),\ (0,\ 1,\ 1) \]
を頂点とする立方体を考える．$0<t<3$のとき，$3$点$(t,\ 0,\ 0)$，$(0,\ t,\ 0)$，$(0,\ 0,\ t)$を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積を$f(t)$とし，$f(0)=f(3)=0$とする．関数$f(t)$について，次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq t \leqq 3$のとき，$f(t)$を$t$の式で表せ．
(2)関数$f(t)$の$0 \leqq t \leqq 3$における最大値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^3 f(t) \, dt$の値を求めよ．

$xy$平面において，次の式が表す曲線を$C$とする．
\[ x^2+4y^2=1,\quad x>0,\quad y>0 \]
$\mathrm{P}$を$C$上の点とする．$\mathrm{P}$で$C$に接する直線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$として，$x$軸と$y$軸と$m$で囲まれてできる三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}$が$C$上の点全体を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

曲線$C:y=\sin^2 x$について，$C$上の点$\displaystyle (t,\ \sin^2 t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における$C$の接線と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a$は$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(t)$とおくとき，$f(t)$を求めよ．
(2)関数$f(t)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$(t,\ \sin^2 t)$における$C$の接線が通るすべての点のうち，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$となるものの範囲を$xy$平面に図示せよ．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，上に凸であり，原点および点$\mathrm{Q}(a,\ 0)$を通るものとする．ただし，$0<a<1$である．関数$y=x^2$のグラフを$C$，関数$y=f(x)$のグラフを$D$とし，$C$と$D$の共有点のうち，原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$m$，$D$の接線の傾きを$n$とするとき
\[ (2a-1)m=2an \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$と$a$の式で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq a$の範囲で，曲線$D$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$の式で表せ．
(3)$(2)$で求めた$S(a)$の$0<a<1$における最大値を求めよ．

$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．

(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．

(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

$a>0$を実数とする．関数$f(t)=-4t^3+(a+3)t$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を$M(a)$とする．

(1)$M(a)$を求めよ．
(2)実数$x>0$に対し，$g(x)=M(x)^2$とおく．$xy$平面において，関数$y=g(x)$のグラフに点$(s,\ g(s))$で接する直線が原点を通るとき，実数$s>0$とその接線の傾きを求めよ．
(3)$a$が正の実数全体を動くとき，
\[ k=\frac{M(a)}{\sqrt{a}} \]
の最小値を求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,\ b)$とし，$f(x)=(x-a)^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,\ -2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．