次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$x^3+ax^2+bx+1$を$x-1$で割ると余りは$4$であり，$2x-1$で割ると余りは$\displaystyle \frac{3}{2}$である．このとき$(a,\ b)=[ア]$である．
(2)$1$の数字が書かれたカード$1$枚，$2$の数字が書かれたカード$2$枚，$3$の数字が書かれたカード$2$枚の計$5$枚のカードを並べてできる$5$けたの数字の中で，$23000$より大きいものは$[イ]$個ある．
(3)関数$\displaystyle y=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)-\sin 2x$の最大値は$[ウ]$である．

$x>0$の範囲で定義された関数$f(x)=x \log x$，$g(x)=x^x$について，以下の問いに答えよ．ただし，対数は$e$を底とする自然対数である．

(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$g(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$の範囲における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

大きさ$\sqrt{3}$のベクトル$\overrightarrow{a}$と大きさ$2$のベクトル$\overrightarrow{b}$を考える．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{4}$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{p}=(\cos t) \overrightarrow{a}+(\sin t) \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{q}=(-\sin t) \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}$とするとき，${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$を$t$で表しなさい．
(3)$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲で(2)の${|\overrightarrow{q|-\overrightarrow{p}}}^2$の最大値と最小値を求めなさい．

$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．

(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)不等式$\log_2 (x^2-3x+6)>1+\log_2x$を満たす$x$の範囲は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)実数係数の$3$次方程式$x^3-4x^2+ax-8=0$が，解$1+bi$（$b$は正の実数）をもつとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$\angle \mathrm{B}$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$15^\circ$，$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする．この三角形の面積を$b$で表すと$[オ]$であり，$\mathrm{BC}$の長さは$[カ]$である．
(4)円$x^2+y^2=1$の上を動く点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(0,\ -3)$，点$\mathrm{C}(4,\ 0)$の$3$点を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の軌跡は方程式$[キ]$で表され，$\mathrm{A}$と$\mathrm{G}$の距離の最大値は$[ク]$である．
(5)整式$f(x)$が，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 xf(t) \, dt=x^2+2x+a$（$a$は実数）を満たすとき，$a=[ケ]$，$f(x)=[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．

座標平面上に曲線$C:y=e^{-x}$があり，$C$上に点$\mathrm{P}(a,\ e^{-a})$がある．ただし$a \geqq 0$とする．

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$の接線と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$a \geqq 0$における$(2)$の$S$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$xy$平面上の$3$点$(0,\ -13)$，$(1,\ -6)$，$(3,\ 2)$を通る$2$次関数のグラフ$y=f(x)$があり，これと$x$軸で囲まれた部分の中に存在する平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．ここで，平行四辺形の辺$\mathrm{AB}$は$x$軸上にあり，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$は$2$次関数のグラフ上にある．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さく，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$4$より大きいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)上の条件を満たす$f(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$x$座標を$t$とするとき，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$の最大値を求めよ．

実数$x,\ y$が$x^2+y^2=2x$を満たしながら動くとき，$3x+4y$の最大値と最小値を求めよ．

グラフが$2$点$(1,\ 0)$，$(3,\ 0)$で$x$軸と交わり，かつ最大値が$2$である$2$次関数を求めなさい．