「最大値」について
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国立 防衛大学校 2010年 第1問実数$x,\ y$について，関係式$x^2+xy+y^2 = 3$が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$x+y=s,\ xy = t$とおくとき，$t$を$s$の式で表せ．
(2)$s$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$x^2+y^2+x+y=k$とおくとき，$k$を$s$の式で表せ．
(4)$k$のとり得る値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
(1)$x+y=s,\ xy = t$とおくとき，$t$を$s$の式で表せ．
(2)$s$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$x^2+y^2+x+y=k$とおくとき，$k$を$s$の式で表せ．
(4)$k$のとり得る値の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
国立 防衛大学校 2010年 第2問関数$f(x)=3 \sin x+4 \cos x$について，次の問に答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(1)$f(x)=r \sin (x+\alpha)$と変形したとき，$r$の値と$\cos \alpha,\ \sin \alpha$の値を求めよ．ただし，$r>0,\ -\pi<\alpha \leqq \pi$とする．
(2)$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
(3)(1)の$r$と$\alpha$に対し，$\displaystyle f(x) \geqq \frac{r}{2}$となる$x$の範囲を$\alpha$を用いて表せ．
(1)$f(x)=r \sin (x+\alpha)$と変形したとき，$r$の値と$\cos \alpha,\ \sin \alpha$の値を求めよ．ただし，$r>0,\ -\pi<\alpha \leqq \pi$とする．
(2)$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
(3)(1)の$r$と$\alpha$に対し，$\displaystyle f(x) \geqq \frac{r}{2}$となる$x$の範囲を$\alpha$を用いて表せ．
国立 防衛大学校 2010年 第3問関数$f(x)=x^3-3x^2+3ax+b \ (a,\ b \text{は定数})$について，次の問に答えよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
国立 東京農工大学 2010年 第3問座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2 \cos t,\quad y=\sqrt{3} \sin t \]
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく．$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値，最小値を求め，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ．
\[ x=2 \cos t,\quad y=\sqrt{3} \sin t \]
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく．$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値，最小値を求め，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2010年 第2問関数$f(t)=\sin^2 t+2x \cos t$の$t$に関する最大値$M(x)$を$x$の関数とする．
(1)$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．
(2)曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1,\ L_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(4)$2$本の接線$L_1,\ L_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．
(1)$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．
(2)曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1,\ L_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(4)$2$本の接線$L_1,\ L_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．
国立 長岡技術科学大学 2010年 第3問曲線$C:y=e^{-\frac{1}{2}x^2}$について以下の問いに答えなさい．
(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい．
(2)(1)の接線と$x$軸，$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする．$t>0$の範囲で$t$が動くとき，$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい．
(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい．
(2)(1)の接線と$x$軸，$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする．$t>0$の範囲で$t$が動くとき，$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい．
国立 滋賀大学 2010年 第3問数の集まり$\{1\},\ \{1,\ 2\},\ \{1,\ 2,\ 3\},\ \{1,\ 2,\ 3,\ 4\},\ \cdots$について，次のように並べてできる数列
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$100$以下の自然数$k$について，$a_k-a_{k+1} \geqq 9$となる$k$の最小値と最大値を求めよ．
(2)$a_{225}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{225}a_k$を求めよ．
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$100$以下の自然数$k$について，$a_k-a_{k+1} \geqq 9$となる$k$の最小値と最大値を求めよ．
(2)$a_{225}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{225}a_k$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第7問袋の中に1の数字が書かれている球が5個，2の数字が書かれている球が3個，5の数字が書かれている球が2個の合計10個の球が入っている．1個の球を取り出して，その球に書かれている数を確認し，もとに戻すことを繰り返す．$i$回目に取り出した球に書かれている数を$X_i$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$X_1$の確率分布を表で表せ．また，$X_1$の平均と分散を求めよ．
(2)$Z=X_1+X_2$の確率分布を表で表せ．また，確率$P(Z \leqq 4)$の値を求めよ．
(3)$W=X_1-X_2$とするとき，
\[ P(W \leqq a) \leqq P(Z \leqq 4) \]
を満たす整数$a$の最大値を求めよ．
(4)$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$が$n+1$となる確率を求めよ．
(1)$X_1$の確率分布を表で表せ．また，$X_1$の平均と分散を求めよ．
(2)$Z=X_1+X_2$の確率分布を表で表せ．また，確率$P(Z \leqq 4)$の値を求めよ．
(3)$W=X_1-X_2$とするとき，
\[ P(W \leqq a) \leqq P(Z \leqq 4) \]
を満たす整数$a$の最大値を求めよ．
(4)$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$が$n+1$となる確率を求めよ．
国立 愛知教育大学 2010年 第6問次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{B}(2,\ \log 2)$における接線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$とおく．曲線$y=f(x)$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通り，さらにこの2点での接線がそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$と一致する．このときの$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$f(x)$に対して$g(x)=f(x)-\log x$とおく．関数$y=g(x) \ (1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を与える$x$の値を求めよ．ただし$0.69<\log 2<0.70$であることを用いてよい．
(1)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{B}(2,\ \log 2)$における接線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$とおく．曲線$y=f(x)$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通り，さらにこの2点での接線がそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$と一致する．このときの$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$f(x)$に対して$g(x)=f(x)-\log x$とおく．関数$y=g(x) \ (1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を与える$x$の値を求めよ．ただし$0.69<\log 2<0.70$であることを用いてよい．
国立 千葉大学 2010年 第8問$a,\ b$は実数とする．関数$f(x)$は，
\[ f(x)=a \sin x+b \cos x+\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos t \, dt \]
をみたし，かつ，$-\pi \leqq x \leqq \pi$における最大値は$2 \pi$である．このとき，
\[ \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
を最小にする$a,\ b$の値と，その最小値を求めよ．
\[ f(x)=a \sin x+b \cos x+\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos t \, dt \]
をみたし，かつ，$-\pi \leqq x \leqq \pi$における最大値は$2 \pi$である．このとき，
\[ \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
を最小にする$a,\ b$の値と，その最小値を求めよ．