「最大値」について
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国立 大分大学 2010年 第1問$x,\ y$が不等式$|x-2|+|y-2| \leqq 2$を満たすとき，次の問いに答えなさい．
(1)この不等式の表す領域を図示しなさい．
(2)$x+2y$の最大値と最小値を求めなさい．
(1)この不等式の表す領域を図示しなさい．
(2)$x+2y$の最大値と最小値を求めなさい．
国立 大分大学 2010年 第4問$x,\ y$が不等式$|x-2|+|y-2| \leqq 2$を満たすとき，次の問いに答えなさい．
(1)この不等式の表す領域を図示しなさい．
(2)$x+2y$の最大値と最小値を求めなさい．
(1)この不等式の表す領域を図示しなさい．
(2)$x+2y$の最大値と最小値を求めなさい．
国立 熊本大学 2010年 第1問関数$y=\sin^3 x-\cos^3 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，以下の問いに答えよ．
(1)$\sin x-\cos x = t$とおいて，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$の式で表せ．
(3)$y$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$\sin x-\cos x = t$とおいて，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$の式で表せ．
(3)$y$の最大値および最小値を求めよ．
国立 熊本大学 2010年 第4問原点Oを中心として半径1の円の第1象限の部分$C$について考える．$C$上に3点A$\displaystyle \biggl( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)$，P$(1,\ 0)$，Q$(0,\ 1)$をとる．$s+t=1$を満たす$s,\ t \ (0<s<1,\ 0<t<1)$に対し，弧AQ上に点Xを2つのベクトル
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ．
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第1問空間内に4点O，A，B，Cがあり，$\text{OA}=\text{OB}=\sqrt{5},\ \text{OC}=1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくと，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=4,\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$が成り立っている．2点A，Cから直線OBにそれぞれ垂線を下ろし，直線OBとの交点をD，Eとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DA}},\ \overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)4点O，A，B，Cが同一平面上にない場合，四面体OABCの体積が最大になるときの$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値と体積の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DA}},\ \overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)4点O，A，B，Cが同一平面上にない場合，四面体OABCの体積が最大になるときの$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値と体積の最大値を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots \maru{1},\ 2x+3y=24 \cdots \maru{2}$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線\maru{1}と\maru{2}との交点の座標を求めよ．
(3)4つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
(1)直線$2x+y=16 \cdots \maru{1},\ 2x+3y=24 \cdots \maru{2}$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線\maru{1}と\maru{2}との交点の座標を求めよ．
(3)4つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第4問$p$を$0<p<1$を満たす定数とする．関数$y=x^3-(3p+2)x^2+8px$の区間$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を求めよ．
国立 愛知教育大学 2010年 第2問$x$が$\displaystyle 1 \leqq x \leqq \frac{7}{2}$の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2570_2010_1}{10}
(1)図のような，底面の半径が$\sqrt{x}$，高さが$4-x$の直円錐の側面積$S$ \\
を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{S}{\pi} \right)^2$を$f(x)$とするとき，$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値， \\
最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
\img{409_2570_2010_1}{10}
(1)図のような，底面の半径が$\sqrt{x}$，高さが$4-x$の直円錐の側面積$S$ \\
を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{S}{\pi} \right)^2$を$f(x)$とするとき，$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値， \\
最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第2問$f(x)=\cos^3 x+\sin^3 x+\cos x \sin x -\cos x-\sin x$とし，$t=\cos x+\sin x$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$x$が実数全体を動くとき，$t$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
(2)$\cos x \sin x$を$t$の整式として表しなさい．
(3)$f(x)$を$t$の整式として表しなさい．
(4)$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．ただし，そのときの$x$の値を求める必要はありません．
(1)$x$が実数全体を動くとき，$t$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．
(2)$\cos x \sin x$を$t$の整式として表しなさい．
(3)$f(x)$を$t$の整式として表しなさい．
(4)$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．ただし，そのときの$x$の値を求める必要はありません．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第3問実数上の関数$f(x),\ g(x)$を次のように定義する．
\[ f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{2},\quad g(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2} \]
ここで，$a$は$a>1$をみたす実数である．
(1)関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(2)この2つのグラフと2つの直線$x=0,\ x=3$とで囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた面積を$S(a)$とするとき，$2 \leqq a \leqq 5$での$S(a)$の最大値と最小値とを求めよ．
\[ f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{2},\quad g(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2} \]
ここで，$a$は$a>1$をみたす実数である．
(1)関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフの概形を描け．
(2)この2つのグラフと2つの直線$x=0,\ x=3$とで囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた面積を$S(a)$とするとき，$2 \leqq a \leqq 5$での$S(a)$の最大値と最小値とを求めよ．