$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．

$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．

座標平面上に点A$(0,\ 2)$と曲線$C:y=x^2$がある．
曲線$C$上に点P$(a,\ a^2) \ (1 \leqq a <2)$をとる．また，点Pを通り傾き1の直線と曲線$C$との交点のうち，点Pと異なる点をQとする．$\triangle$PAQの面積を$S$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)$S$を，$a$を用いて表せ．
(2)$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)直線PQと曲線$C$で囲まれる部分の面積が，$S$と等しくなる$a$の値を求めよ．

$\displaystyle \angle \text{A}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{B}=\alpha$である$\triangle$ABCを考える．$\triangle$ABCの外接円の半径を$R$とする．この外接円上の点Pが，点Aを含まない弧BC上を動くものとする．$\displaystyle \angle \text{BAP}=\theta \ (0<\theta<\frac{\pi}{2})$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle$ABPの面積の最大値を$R,\ \alpha$を用いて表せ．
(2)$\triangle$BPCの面積を$R,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{3}$とする．$\triangle$ABPと$\triangle$BPCの面積の和$S$の最大値を求めよ．

関数$y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+2\sin x-2\sqrt{3}\cos x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin x-\sqrt{3}\cos x=t$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\pi$のとき，$y$の最大値および最小値を求めよ．

曲線$C:x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$上に3点A$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$，P$(1,\ 0)$，Q$(0,\ 1)$をとり，$\displaystyle \angle \text{POR}=\theta \ \left( 0<\theta < \frac{\pi}{4} \right)$となる$C$上の点をR$(s,\ t)$とする．さらに，$C$上の点Xを2つのベクトル$s \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t\overrightarrow{\mathrm{OX}}$と$t \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\overrightarrow{\mathrm{OX}}$が垂直になるようにとる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$の内積の値を$\theta$を用いて表せ．
(2)条件をみたすXが弧AP上にとれるとき，$\theta$の範囲を求めよ．
(3)(2)で求めた$\theta$の範囲において，$\triangle$ROXの面積の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)直線$2x+y=16 \cdots\cdots ①,\ 2x+3y=24 \cdots\cdots ②$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．
(2)(1)で定めた直線$①$と$②$との交点の座標を求めよ．
(3)$4$つの不等式$2x+y \leqq 16,\ 2x+3y \leqq 24,\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．

$xy$平面において，次の円$C$と楕円$E$を考える．
\begin{eqnarray}
& & C:x^2+y^2=1 \nonumber \\
& & E:x^2+\frac{y^2}{2}=1 \nonumber
\end{eqnarray}
また，$C$上の点P$(s,\ t)$における$C$の接線を$\ell$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を$s,\ t$を用いて表せ．
以下，$t>0$とし，$E$が$\ell$から切り取る線分の長さを$L$とする．
(2)$L$を$t$を用いて表せ．
(3)Pが動くとき，$L$の最大値を求めよ．
(4)$L$が(3)で求めた最大値をとるとき，$\ell$と$E$が囲む領域のうち，原点を含まない領域の面積を$A$とする．$A$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x\sqrt{x}} \ (x>1)$に対して次の問いに答えよ．必要ならば，自然対数の底$e$の値は$2<e<3$であることを用いてよい．

(1)関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点P$(t,\ f(t))$における法線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pから$x$軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線$\ell$と$x$軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．