「最大値」について
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国立 埼玉大学 2010年 第1問平面上の点$(a,\ b)$は円$x^2 + y^2-100 = 0$上を動き，点$(c,\ d)$は円$x^2 + y^2-6x-8y+24 = 0$上を動くものとする．
(1)$ac+bd = 0$を満たす$(a,\ b)$と$(c,\ d)$の例を一組あげよ．
(2)$ac+bd$の最大値を求めよ．
(1)$ac+bd = 0$を満たす$(a,\ b)$と$(c,\ d)$の例を一組あげよ．
(2)$ac+bd$の最大値を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第2問座標平面上に点O$(0,\ 0)$と点P$(4,\ 3)$をとる．不等式$(x-5)^2 +(y-10)^2 \leqq 16$の表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．
(1)$k$は定数とする．直線$\displaystyle y = -\frac{4}{3}x+k$上の点をQとするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$k$を用いて表せ．
(2)点Rが$D$全体を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$k$は定数とする．直線$\displaystyle y = -\frac{4}{3}x+k$上の点をQとするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$k$を用いて表せ．
(2)点Rが$D$全体を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$の最大値および最小値を求めよ．
国立 弘前大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたすとき，方程式
\[ -\sin 2\theta \cos \theta +2 \cos 2\theta + \sin \theta = 0 \]
を解け．
(2)関数
\[ y = \log_2 (2-x) + \log_{\sqrt{2}} (x+1) \]
の最大値を求めよ．
(1)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたすとき，方程式
\[ -\sin 2\theta \cos \theta +2 \cos 2\theta + \sin \theta = 0 \]
を解け．
(2)関数
\[ y = \log_2 (2-x) + \log_{\sqrt{2}} (x+1) \]
の最大値を求めよ．
国立 弘前大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$a$を定数とする．関数$y = a(x - \sin 2x) \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の最大値が2であるような$a$の値を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^3 \frac{\log (x+1)}{x^2} \, dx$を求めよ．
(1)$a$を定数とする．関数$y = a(x - \sin 2x) \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の最大値が2であるような$a$の値を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^3 \frac{\log (x+1)}{x^2} \, dx$を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第4問半径$R$の円$C$の中心を通る直線を$\ell$とする．円$C$上の2点A，Bは弦ABが$\ell$と交わらないように動くものとする．$\ell$を軸として弦ABを回転させてできる図形の面積を$S$とする．ただし，直線$\ell$は円$C$と同一平面上にあるものとする．
(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABが$\ell$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．
(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABが$\ell$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．
国立 名古屋大学 2010年 第1問座標空間に8点
\begin{eqnarray}
& & \text{O}(0,\ 0,\ 0),\ \text{P}(1,\ 0,\ 0),\ \text{Q}(1,\ 1,\ 0),\ \text{R}(0,\ 1,\ 0), \nonumber \\
& & \text{A}(0,\ 0,\ 1),\ \text{B}(1,\ 0,\ 1),\ \text{C}(1,\ 1,\ 1),\ \text{D}(0,\ 1,\ 1) \nonumber
\end{eqnarray}
をとり，線分BCの中点をMとする．線分RD上の点をN$(0,\ 1,\ t)$とし，3点 O，M，Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれK，Lとする．
(1)Kの座標を$t$で表せ．
(2)四面体OKLPの体積を$V(t)$とする．Nが線分RD上をRからDまで動くとき，$V(t)$の最大値と最小値およびそれらを与える$t$の値をそれぞれ求めよ．
\begin{eqnarray}
& & \text{O}(0,\ 0,\ 0),\ \text{P}(1,\ 0,\ 0),\ \text{Q}(1,\ 1,\ 0),\ \text{R}(0,\ 1,\ 0), \nonumber \\
& & \text{A}(0,\ 0,\ 1),\ \text{B}(1,\ 0,\ 1),\ \text{C}(1,\ 1,\ 1),\ \text{D}(0,\ 1,\ 1) \nonumber
\end{eqnarray}
をとり，線分BCの中点をMとする．線分RD上の点をN$(0,\ 1,\ t)$とし，3点 O，M，Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれK，Lとする．
(1)Kの座標を$t$で表せ．
(2)四面体OKLPの体積を$V(t)$とする．Nが線分RD上をRからDまで動くとき，$V(t)$の最大値と最小値およびそれらを与える$t$の値をそれぞれ求めよ．
国立 横浜国立大学 2010年 第1問実数$a$に対し，関数
\[ f(x) = \cos 2x+4a \cos x+2a+5 \]
を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x) = 0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が (1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$a$に対し，$f(x) = m(a)$となる$x$の値を求めよ．
\[ f(x) = \cos 2x+4a \cos x+2a+5 \]
を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x) = 0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が (1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$a$に対し，$f(x) = m(a)$となる$x$の値を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第3問関数$y = 2 \sin 3x+ \cos 2x-2 \sin x+a$の最小値の絶対値が，最大値と一致するように，定数$a$の値を定めよ．
国立 東京大学 2010年 第6問四面体$\mathrm{OABC}$において，$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=\sqrt{7}$，$\mathrm{AB}=2$であるとする．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$L$とする．
(1)点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$0<t<1$をみたす実数$t$に対して，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$とおく．$2$点$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$を通り，平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき，平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
(1)点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$0<t<1$をみたす実数$t$に対して，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$とおく．$2$点$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$を通り，平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき，平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
国立 東京大学 2010年 第1問Oを原点とする座標平面上に点A$(-3,\ 0)$をとり，
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．
\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．
\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．
\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．
\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．