関数$\displaystyle y=-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{x}$とおいて，関数$y$を$t$の関数に書き換えよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq x \leqq 2$における関数$y$の最大値，最小値を求めよ．

$0<\theta<\pi$における関数$y=\sin^2 \theta+\cos \theta$の最大値を考える．

(1)$t=\cos \theta$としたとき，$y$を$t$の式で表せ．また，$t$のとり得る値の範囲を示せ．
(2)$(1)$で示した範囲を$t$が変化するとき，$y$の最大値と，最大値を与える$\theta$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+28$（$a,\ b$は定数）がある．曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線の方程式が$y=15x$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$a$の値は$[ア]$，$b$の値は$[イウ]$である．
(2)$f(x)$は
$x=[エオ]$のとき，極大値$[カキ]$
$x=[ク]$のとき，極小値$[ケコ]$
をとる．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲では，$f(x)$の最大値は$[サシ]$，最小値は$[スセ]$である．

$2$次関数$y=ax^2+8x+10-a$について考える（ただし，$a \neq 0$）．

(1)この$2$次関数のグラフが，$x$軸とただ一つの共有点を持ち，$a<7$ならば，$a=[　]$である．またこのとき，$2$次関数のグラフの軸は直線$x=-[　]$である．
(2)$a=4$のとき，定義域が$-2 \leqq x \leqq 1$の場合の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．
(3)この$2$次関数のグラフの軸が直線$x=4$となるように$a$を定めたとき，頂点の$y$座標は$[　]$である．

中心が$\mathrm{O}$で半径$1$の円上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対し
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad{（零ベクトル）} \]
を満たす実数$k$が存在するという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=[ア]$である．
以下$0<k$とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．$0<\theta<\pi$とするとき，$\displaystyle k=\frac{[イ]}{[ウ]} \cos \frac{\theta}{[エ]}$が成り立つ．
(3)$F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと
\[ F=[オカキ] k^2+[ク] k+[ケ] \]
である．
(4)$F$は$\displaystyle k=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき最大値$[シ]$をとる．

$x,\ y$は実数で，曲線$9x^2+16y^2-144=0$を$\ell$とする．

(1)曲線$\ell$上の点で，$x+y$の値の最大値は$[$4$]$である．
(2)座標平面上の第$1$象限において，曲線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$とする．曲線$\ell$上の点$\mathrm{P}$における接線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる三角形の面積の最小値は$[$5$]$であり，このときの点$\mathrm{P}$の座標は$[$6$]$である．

$c_0,\ \cdots,\ c_3$を係数とする$3$次関数$f(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$は，$4$つの条件
\[ f(0)=a,\quad f^\prime(0)=1,\quad f(1)=b,\quad f(-1)=1 \]
を満たしている．ここで$a$および$b$は実数で$b \neq 3$であり，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$f(x)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$f(x)$に対し，$2$次関数$g(x)$と定積分$S$を
\[ g(x)=f(x)-c_3x^3,\quad S=\int_{-1}^1 g(x) \, dx \]
と定める．定積分$S$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$3$つの不等式
\[ a \geqq 0,\quad b \geqq 0,\quad a+b \leqq 1 \]
を満たすとき，$(2)$で定めた定積分$S$の最大値を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$2$次関数$y=3x^2 (k \leqq x \leqq k+1)$の最大値と最小値の差を$M$とする．$\displaystyle -1 \leqq k \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$M=2$となる$k$の値は$[　]$である．
また，$\displaystyle -\frac{1}{2} \leqq k \leqq 0$のとき，$M \leqq 2$である$k$の値の範囲は$[　]$である．
(2)等式$2 \log_2 (y-3x)=2+\log_2 x+\log_2 y$が成り立っているとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の値は$[　]$である．また，このとき，$\displaystyle \log_2 \frac{xy-6x^2}{y^2-5xy-12x^2}$の値は$[　]$である．

座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる．また，$xy$平面上にあり，中心が原点，半径が$1$の円を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．

関数$f(x)=4 \sin 3x+9 \cos 2x$について次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x$として，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．