図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}

\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．

(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．

表と裏が同じ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出る$2$つの硬貨$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$がこの$2$つの硬貨$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を同時に投げた結果によって移動する．点$\mathrm{P}$は，硬貨$\mathrm{A}$を投げて表が出たら$x$軸方向に$+1$移動し，裏が出たら$x$軸方向に$-1$移動する．また，硬貨$\mathrm{B}$を投げて表が出たら$y$軸方向に$+1$移動し，裏が出たら$y$軸方向に$-1$移動する．点$\mathrm{P}$は最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$4$回目の操作で初めて原点にもどる確率を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$6$回目の操作で直線$y=4-x$の上にある確率を求めよ．

下図のように$9$個の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\mathrm{C}_1$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{C}_3$，$\mathrm{C}_4$とそれらを結ぶ$16$本の線分からなる図形がある．この図形上にある物体$\mathrm{U}$は，毎秒ひとつの点から線分で結ばれている別の点へ移動する．ただし$\mathrm{U}$は線分で結ばれているどの点にも等確率で移動するとする．最初に点$\mathrm{A}$にあった物体$\mathrm{U}$が，$n$秒後に点$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$とすると，$a_0=1$，$a_1=0$である．このとき$a_n (n \geqq 2)$を求めよ．
（図は省略）

次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[　]$に適当な答えを入れよ．

(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．

(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]

(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．

(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．

(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．

次の各設問の$[9]$から$[12]$までの空欄を埋めよ．$[　]$についても答えよ．
数列
\[ 1 \cdot1,\ 1\cdot 3,\ 2\cdot 5,\ 2\cdot 7,\ 2\cdot 9,\ 2\cdot 11,\ 3\cdot 13,\ 3\cdot 15,\ 3\cdot 17,\ 3\cdot 19,\ 3\cdot 21,\ 3\cdot 23,\ 4\cdot 25,\ \cdots \]
がある．ただし$\cdot$は積を表し，例えば第8項は$3\cdot 15 = 45$の意味である．この数列を
\[ 1 \cdot1,\ 1\cdot 3\ |\ 2\cdot 5,\ 2\cdot 7,\ 2\cdot 9,\ 2\cdot 11\ |\ 3\cdot 13,\ 3\cdot 15,\ 3\cdot 17,\ 3\cdot 19,\ 3\cdot 21,\ 3\cdot 23\ |\ 4\cdot 25,\ \cdots \]
\qquad 第$1$群 \qquad\qquad 第$2$群 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 第$3$群 第$4$群 \\
のように第$m$群に$2m$個の項を含むように分ける．

(1)第$m$群の最初の項はもとの数列の$[9]$番目の項である．また，この項は$m$を用いて$[10]$と表すことができる．
(2)初めて積が$2011$を越える項は第$[11]$群の$[12]$番目の項である．また，第$[11]$群の全ての項の和は$[　]$である．

数列$\{a_n\}$は，初項1，公差$\displaystyle \frac{5}{2}$の等差数列で，数列$\{b_n\}$は，初項2，公差$\displaystyle \frac{7}{4}$の等差数列である．このとき，次の設問に答えよ．

(1)ある$a_n$とある$b_m$が同じ値をとるものを小さい順に$c_1,\ c_2,\ c_3,\ \cdots$とする．このとき，最初からの3項$c_1,\ c_2,\ c_3$の値を求めよ．
(2)一般項$c_n$を$n$の式で表せ．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$m$を実数とするとき，$2$つの$2$次方程式
$2x^2+8x+2m=0$ $\cdots\cdots①$
$x^2+mx+2m-4=0$ $\cdots\cdots②$
が共通の解をもつのは，$m=[$*$]$または$m=[$**$]$のときである．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．$m=[$*$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[　]$であり，$m=[$**$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[　]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{P}$がある．サイコロを投げて，偶数の目がでたら$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に$1$動き，$1$または$5$の目がでたら$y$軸の正の方向に$1$動き，$3$の目がでたときには動かないとする．最初$\mathrm{P}$が原点にあったとする．サイコロを$5$回投げた後，$\mathrm{P}$が座標$(4,\ 1)$にある確率は$[　]$，$(3,\ 1)$にある確率は$[　]$，$(2,\ 1)$にある確率は$[　]$である．また，$n$を$3$以上の自然数とし，サイコロを$n$回投げた後，$\mathrm{P}$が$(n-3,\ 1)$にある確率は$[　]$である．

以下の問いに答えなさい．

(1)赤，白，黒の玉がそれぞれ$3$個ずつあり，一列に並べるものとする．合計$9$個の玉の並べ方は何通りあるか求めなさい．なお，同じ色の玉は区別しないものとする．
(2)(1)の並べ方のうちで，先頭の$3$個の玉が同じ色であるか，末尾の$3$個の玉が同じ色であるか，少なくとも一方が成り立つ並べ方は何通りあるか求めなさい．
(3)空間において座標$(x,\ y,\ z)$にある点$\mathrm{P}$を$1$回の操作で$(x+1,\ y,\ z)$，$(x,\ y+1,\ z)$，$(x,\ y,\ z+1)$のいずれかを選んでその座標に移動させる．最初に$(0,\ 0,\ 0)$にある点$\mathrm{P}$を，$9$回の操作で$(3,\ 3,\ 3)$に移動させる選び方のうち，$(3,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 3,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 3)$，$(3,\ 3,\ 0)$，$(3,\ 0,\ 3)$，$(0,\ 3,\ 3)$のいずれも経由しないものは何通りあるか求めなさい．

$N$を自然数とする．赤いカード2枚と白いカード$N$枚が入っている袋から無作為にカードを1枚ずつ取り出して並べていくゲームをする．2枚目の赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する．赤いカードが最初に取り出されるまでに取り出された白いカードの枚数を$X$とし，ゲーム終了時までに取り出された白いカードの総数を$Y$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$X=n$となる確率$p_n$を求めよ．
(2)$X$の期待値を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$Y=n$となる確率$q_n$を求めよ．

$\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n+1)}$を第$n$項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．
\begin{eqnarray}
& & \{a_1\},\quad \{a_2,\ a_3,\ a_4 \},\quad \{a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9\},\ \cdots \quad \nonumber \\
& & \text{第$1$群} \qquad \ \text{第$2$群} \qquad \qquad \quad \ \text{第$3$群} \nonumber
\end{eqnarray}
$k$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)第$k$群の最初の項を求めよ．
(2)第$k$群に含まれるすべての項の和$S_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle (k^2+1)S_k \leqq \frac{1}{100}$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．