数直線上の点$\mathrm{P}$を，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．$\mathrm{P}$を最初原点$0$に置き，サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$の位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは$1$から$6$までのどの目も同じ確率で出るものとする．

(1)$\mathrm{P}$が位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)$\mathrm{P}$が位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が袋の中から玉を$1$つずつ交互に取り出すゲームを考える．最初に玉を取り出すのは$\mathrm{A}$で，また$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はともに取り出した玉を袋に戻さない．

(1)初め袋の中には白玉が$(2n-2)$個（$n \geqq 1$），赤玉が$2$個入っているとする．$2$つ目の赤玉を取り出した方を勝ちとして終了するとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．
(2)初め袋の中には白玉が$(2n-3)$個（$n \geqq 2$），赤玉が$2$個，黒玉が$1$個入っているとする．次の$(ⅰ)$と$(ⅱ)$にしたがって勝敗を決めるとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(i) 一方が黒玉を取り出したときは，他方を勝ちとして終了する．
(ii) 一方が$2$つ目の赤玉を取り出したときは，その者を勝ちとして終了する．

数直線上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を同時に投げた結果によって移動する．点$\mathrm{P}$は，さいころ$\mathrm{A}$の出る目が偶数ならば$+3$だけ移動し，奇数ならば$-1$だけ移動する．点$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{B}$の出る目が$2$以下ならば$+3$だけ移動し，$3$以上ならば$+1$だけ移動する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問いに答えよ．

(1)$8$回目の操作で，点$\mathrm{P}$が原点に戻る確率$p_1$を求めよ．
(2)$6$回目の操作で，点$\mathrm{Q}$の座標が$14$以上である確率$p_2$を求めよ．
(3)$4$回目の操作で，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標が同じである確率$p_3$を求めよ．

先生と3人の生徒A，B，Cがおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉3個，白玉7個，全部で10個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，1の目が出たらAが，2または3の目が出たらBが，その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を2回続けて行うものとして以下の問いに答えよ．\\
\quad ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．

(1)Aが2個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
(2)Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．

先生と3人の生徒A，B，Cがおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉3個，白玉7個，全部で10個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，1の目が出たらAが，2または3の目が出たらBが，その他の目が出たらCが箱の中
から1つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ．ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．

(1)2回目の操作が終わったとき，Aが2個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(2)2回目の操作が終わったとき，Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(3)3回目の操作で，Cが赤玉を取り出す確率を求めよ．

ある袋に10と書かれた2枚のカードと 5と書かれた3枚のカードが入っている．この袋の中をよくかきまぜてから，カードを取り出す．以下の3つの方法で取り出した場合に，それぞれの期待値を求めなさい．

(1)この袋からカードを1枚取り出すとき，カードに書かれた数の期待値．
(2)この袋からカードを2枚取り出すとき，カードに書かれた数の合計の期待値．
(3)最初に，この袋からカードを2枚取り出す．2枚のカードに書かれた数が異なる場合には，次にそのまま続けて3枚目のカードを取り出す．一方，初めに取り出したカードに書かれた数が同じ場合には，そのうちの1枚のカードを袋に戻した後に，3枚目のカードを取り出すことにする．このとき，袋に戻したカードも含
めて，取り出した3枚のカードに書かれていた数の合計の期待値．

$k+1$個（$k \geqq 1$）の部屋$A_0,\ A_1,\ A_2,\ \cdots,\ A_k$がある．千葉君はある部屋から，その部屋以外の部屋を等しい確率$\displaystyle \frac{1}{k}$で$1$つ選び，そこへ移動する．最初，部屋$A_0$にいた千葉君が，$n$回（$n \geqq 1$）部屋を移動した後に部屋$A_1$にいる確率を求めよ．

水戸黄門，助さん、格さん．弥七，お銀，八兵衛の6人が左から右へこの順番で1列に並んで座っている．6人が席を入れ換える．どの並びかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき以下となる確率を求めよ．

(1)助さんと格さんが両端に座る．
(2)水戸黄門とお銀が隣どうしに座る．
(3)最初と同じ席に座る人がちょうど 3 人．
(4)最初と同じ席に座る人がいない．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコイン8枚と，1つの箱が用意されている．最初，箱には8枚のコインのうちの1枚が入っており，次の操作を繰り返し行う．

(操作) \quad 箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる．裏の出たコインはそのまま箱に戻す．表の出たコインはその枚数を数え，同数のコインを新たに追加して箱に戻す．

例えば，箱の中に3枚のコインがあり，それらを投げた結果，表が2枚，裏が1枚出たとすると，操作の結果，箱の中のコインは，2枚追加されて5枚になる．以下の問いに答えよ．

(1)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが2枚である確率を$p$を用いて表せ．
(2)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインの枚数の期待値を$p$を用いて表せ．
(3)3回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが6枚以下である確率を$p$を用いて表せ．

大中小3枚のコインがある．サイコロを投げて次の規則でコインの表裏を反転させる試行を繰り返す．

\mon[(i)] 1または2の目が出たら，大コインを反転
\mon[(ii)] 3または4の目が出たら，中コインを反転
\mon[(iii)] 5または6の目が出たら，小コインを反転

3枚とも表になっている状態から始めるとき，次の問いに答えよ．

(1)サイコロを5回投げたとき，3枚とも裏である確率を求めよ．
(2)サイコロを5回投げたとき，初めて3枚とも裏になる確率を求めよ．
(3)コインが3枚とも裏になったところでサイコロ投げを終了することにする．最初の状態を除きコインが3枚とも表になることが一度もなく終了する確率を求めよ．