$xy$平面で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．点$\mathrm{P}$を次のルールで格子点上を移動させる．
\begin{itemize}
さいころをふって出た目が$1$または$2$のとき，$x$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$3$または$4$のとき，$y$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$5$または$6$のとき，動かさない．
\end{itemize}
以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく理由も述べなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$3$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 1)$である確率を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$5$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標を$(m,\ n)$とする．$m$と$n$がともに正で$m+n=3$である確率を求めなさい．

隣り合う辺の長さが$a,\ b$の長方形がある．その各辺の中点を順に結んで四角形をつくる．さらにその四角形の各辺の中点を順に結んで四角形をつくる．このような操作を無限に続ける．

(1)最初の長方形も含めたこれらの四角形の周の長さの総和$S$を求めよ．
(2)関係$a+b=1$を満たしながら$a,\ b$が動くときの$S$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．

最初に1の目が上面にあるようにサイコロが置かれている．その後，4つの側面から1つの面を無作為に選び，その面が上面になるように置き直す操作を$n$回繰り返す．なお，サイコロの向かい合う面の目の数の和は7である．

(1)最後に1の目が上面にある確率を求めよ．
(2)最後に上面にある目の数の期待値を求めよ．

いくつかの玉が入った箱Aと箱Bがあるとき，次の試行Tを考える．\\
(試行T) \quad 箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ，その後，箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる．\\
最初に箱Aに黒玉が3個，箱Bに白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ．

(1)試行Tを1回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$p_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(2)試行Tを2回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$q_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(3)試行Tを3回行ったときに，箱Aの中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ．

いくつかの玉が入った箱Aと箱Bがあるとき，次の試行Tを考える．
\begin{eqnarray}
\text{(試行T)} & & \text{箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ，その後，} \nonumber \\
& & \text{箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる．} \nonumber
\end{eqnarray}
最初に箱Aに黒玉が3個，箱Bに白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ．

(1)試行Tを1回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$p_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(2)試行Tを2回行ったときに，箱Aに黒玉が$n$個入っている確率$q_n \ (n = 1,\ 2,\ 3)$を求めて既約分数で表せ．
(3)試行Tを3回行ったときに，箱Aの中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ．

自然数を$2$乗した列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．以下の問いに答えよ．
\begin{align}
& \{1\},\quad \{4,\ 9,\ 16\},\quad \{25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81\},\ \cdots \nonumber \\
& 第1群 \qquad 第2群 \qquad\qquad\qquad 第3群 \nonumber
\end{align}

(1)$625$は第何群の何番目の数か．
(2)第$n$群の最後の数を$n$の式で表せ．
(3)第$n$群の最初の数を$n$の式で表せ．
(4)第$n$群にあるすべての数の和を$n$の式で表せ．

1辺の長さが1の正三角形の頂点を時計回りにP，Q，Rとする．これらの頂点のいずれかにある動点が，次のように辺上を移動することを1回の試行とする．さいころを1回投げて，1の目が出れば反時計回りに長さ1だけ移動し，6の目が出れば移動せず，それ以外の場合は時計回りに長さ1だけ移動する．動点は最初に点Pにあり，$n$回の試行後に動点が点P，Q，Rにある確率をそれぞれ$p_n,\ q_n,\ r_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ p_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$q_2,\ r_2$をそれぞれ求め，さらに$p_3$を求めよ．
(3)$p_{n+1}$を$r_n$を用いて表せ．
(4)$p_{n+3}$を$p_n$を用いて表せ．
(5)$p_{3n}$を$n$を用いて表せ．

半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．

(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

2つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に赤玉と白玉が入っており，箱$\mathrm{A}$の赤玉と白玉の個数の比率は$p:1-p \ (0<p<1)$，箱$\mathrm{B}$の赤玉と白玉の個数の比率は$q:1-q \ (0<q<1)$であるとする．この2つの箱のどちらかを選び，そこから玉を1個取り出して色を調べてもとに戻すという操作をくり返し行うものとする．取り出した玉が赤玉であれば次は$\mathrm{A}$の箱から玉を取り出すものとし，白玉であれば次は$\mathrm{B}$の箱から玉を取り出すものとする．最初は箱$\mathrm{A}$から玉を取り出すことにしたとき，第$n$回目に赤玉を取り出す確率を$a_n$とする．$a_1=p$である．次の問いに答えよ．

(1)$a_2$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ p,\ q$を用いて表せ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．