$\log x$は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$a,\ b$は$e^{-1}<a<1,\ b>0$を満たす実数とする．曲線$C:y=\log x$と直線$\ell:y=ax+b$とが接しているとすると，
\[ b=[モ] \log a+[ヤ] \]
が成り立つ．このとき，曲線$C$と$3$つの直線$\ell$，$x=1$，$x=e$とで囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$e^{-1}<a<1$の範囲を動くときの$S(a)$の最小値は
\[ \left( [ユ]e+[ヨ] \right) \log \left( \frac{e+[ラ]}{[リ]} \right) +[ル] \]
で与えられる．
(2)$k$を正の定数とし，$e^{-k}<t<1$である$t$に対して，
\[ f(t)=\int_0^k |e^{-x|-t} \, dx \]
とおく．$t$が$e^{-k}<t<1$の範囲を動くときの関数$f(t)$の最小値を$M(k)$とおくと，
\[ M(k)=\left( [レ]+e^P \right)^2,\quad \text{ただし} P=\frac{[ロ]}{[ワ]}k \]
となる．このとき
\[ \lim_{k \to +0} \frac{M(k)}{k^2}=\frac{[ヲ]}{[ン]} \]
である．

$f(x)=x^2+x+1$とおく．曲線$y=f(x)$に原点から引いた接線の方程式を$y=mx$，$y=m^\prime x (m<m^\prime)$とおく．また，それぞれの接点の$x$座標を$c,\ c^\prime$とおく．このとき，$c<0<c^\prime$である．実数$a$に対して連立不等式
\[ y \leqq f(x),\quad y \geqq mx,\quad y \geqq m^\prime x,\quad a \leqq x \leqq a+1 \]
の表す領域の面積を$S(a)$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)定数$m,\ m^\prime,\ c,\ c^\prime$を求めよ．
(2)$0<a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$c \leqq a \leqq 0$のとき，$S(a)$を求めよ．
(4)$c \leqq a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$の最大値と最小値を求めよ．

$\mathrm{O}$を$xy$平面の原点とする．以下の設問に答えよ．

(1)$xy$平面上の点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$と点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を考える．
\[ a_1>0,\quad a_2>0,\quad b_1>0,\quad b_2<0 \]
であるとき，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を用いて表せ．
(2)対数関数
\[ f(x)=\log_2x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}}x \]
に対し，$xy$平面上の曲線
\[ \begin{array}{ll}
C_1:y=f(x) & (x \geqq 1) \\
C_2:y=g(x) & (x \geqq 1)
\end{array} \]
を考える．$C_1$上に点$\mathrm{S}(s,\ f(s))$，$C_2$上に点$\mathrm{T}(t,\ g(t))$をとる．ただし，$s \cdot t=8$とする．このとき$s$を用いて，$\triangle \mathrm{SOT}$の面積$H(s)$を表せ．
(3)$(2)$の$H(s)$に対し，$H(3)$と$H(4)$の大小を比較せよ．

以下の文章の空欄に適切な数，式または行列を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な行列が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．

(1)$a_1=1$，$a_2=4$，$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[あ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{C}(1,\ 0)$はそれぞれ点$\mathrm{B}^\prime$と点$\mathrm{C}^\prime$に移されるとする．また$\mathrm{O}(0,\ 0)$を原点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，かつ$\triangle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{C}^\prime$が正三角形となるような行列$A$をすべて求めると$A=[い]$である．
(3)媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle \frac{e^t+3e^{-t}}{2} \\ \\
y=e^t-2e^{-t}
\end{array} \right. \]
と表される曲線$C$の方程式は
\[ [う]x^2+[え]xy+[お]y^2=25 \]
である．
また曲線$C$の接線の傾きは，$t=[か]$に対応する点において$-2$となる．
(4)$\alpha>1$を実数とする．$0 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数$f(x)=x-x^\alpha$が最大値をとる点を$x(\alpha)$とすると$x(\alpha)=[き]$である．また$\displaystyle \lim_{\alpha \to 1+0} x(\alpha)=[く]$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha<\beta \leqq \frac{\pi}{2}$かつ$R>0$とする．極座標$(r,\ \theta)$に関する条件
\[ 0 \leqq r \leqq R,\quad \alpha \leqq \theta \leqq \beta \]
により定まる図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$T$とする．$T$を$\alpha,\ \beta,\ R$を用いた式で表すと
\[ T=[あ] \]
である．
(2)極方程式$r=f(\theta) (0 \leqq \theta \leqq \alpha)$で表される曲線$C$と，$\theta=\alpha$で表される直線$\ell$および$x$軸の正の部分で囲まれた図形を$S$とする．ただし$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とし，関数$f(\theta)$は連続かつ$f(\theta)>0$をみたし，$0 \leqq \theta \leqq \alpha$において増加または減少または定数とする．
$S$を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を$V(\alpha)$とすると
\[ \frac{d}{d\alpha}V(\alpha)=[い] \]
であり，したがって
\[ V(\alpha)=[う] \]
である．また$S$を直線$\ell$のまわりに回転させて得られる立体の体積を$W(\alpha)$とすると
\[ W(\alpha)=[え] \]
である．
(3)$(2)$において$f(\theta)=\sqrt[3]{\cos \theta}$とするとき$\displaystyle V \left( \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle W \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めると
\[ V \left( \frac{\pi}{4} \right)=[お],\quad W \left( \frac{\pi}{4} \right)=[か] \]
である．

$a,\ b$を実数として，$x$の$4$次関数$f(x)=x^4-ax^2+bx$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$を異なる実数とする．曲線$y=f(x)$の，$x=s$における接線の傾きと，$x=t$における接線の傾きが等しいとき，$a$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$が異なる$2$点で共通の接線$\ell$をもつとし，その接点の$x$座標の一つを$s$とする．

(i) $a$を$s$を用いて表せ．
(ii) $\ell$の方程式を，$a$と$b$を用いて表せ．

(3)関数$f(x)$が極大値をもつための必要十分条件を$a$と$b$に関する不等式で与えよ．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\frac{\log x}{x^n} \quad (x>0) \]
で定める．ただし，$\log$は自然対数を表す．

$t>1$とするとき，座標平面において曲線$y=f_n(x)$の$x \leqq t$の部分，$x$軸，直線$x=t$の$3$つで囲まれている図形の面積を$S_n(t)$とする．また，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ 0)$，$(t,\ f_n(t))$，$(1,\ f_n(t))$を頂点とする長方形の面積を$T_n(t)$とする．

(1)関数$f_n(x)$が極大となるときの$x$の値と，そのときの$f_n(x)$の極大値を求めよ．
(2)$t$が$t>1$を動くとき，$T_n(t)-S_n(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．
(3)$S_1(t)$と$S_n(t) (n \geqq 2)$を求めよ．
(4)各$n \geqq 2$に対して$T_n(t)=S_n(t)$となる$t (t>1)$がただ$1$つあることを示せ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$となることを用いてもよい．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-2x}$の極値と曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の変曲点における接線，曲線$y=f(x)$および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$から直線$y=x$へ垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(2)範囲$x \geqq 1$において，曲線$y=x^2$と直線$y=x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とする．このとき，$S_1$を$t$を用いて表しなさい．
(3)曲線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めなさい．ただし，$S_1$は$(2)$と同じとする．

関数$f(x)=x^3-16x-2$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$を$y$軸方向に$6$だけ平行移動すると曲線$y=g(x)$となる．$g(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動すると曲線$y=h(x)$となる．$h(x)$を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの交点の座標を求めよ．
(4)$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフに囲まれた部分の面積を求めよ．