$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点Aを通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^2-1)$を$C$とする．$a$は定数で$a>0$とし，点$\mathrm{A} \displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2}(a^2-1) \right)$における$C$の接線を$\ell$とする．また$\ell$と直線$x=a$とのなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通る直線で，$\ell$となす角が$\theta$であるが，直線$x=a$とは異なるものの方程式を求めよ．

$a$は定数で$a<3$とし，$f(x)=x^2-2ax+4a,\ g(x)=-x^2+6x-2a$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$となるときの$a$の値を求めよ．

曲線$C:y=x \sin x$について，次の問に答えよ．

(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．

媒介変数$\theta$を用いて$\displaystyle x=2\cos \theta,\ y=3\sin \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線がある．

(1)この曲線について$\theta$を消去して，$x,\ y$の方程式を求め，その概形をかけ．
(2)曲線上の点P$(2\cos \theta,\ 3\sin \theta)$での接線の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた接線と$x$軸，$y$軸とで作られる三角形の面積$S$を$\theta$の関数として表せ．

$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=\bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1,\quad g(x)=- \bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1 \]
とする．

(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．

$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=x^2+2 \biggl( 1-\frac{1}{h} \biggr) x +1,\quad g(x)=-x^2+2 \biggl( 1+\frac{1}{h} \biggr) x+1 \]
とする．

(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．