定数$a$は$0<a<1$をみたすとする．曲線$C:y=(x-1)^2$と$C$上の点$(a,\ (a-1)^2)$における接線$\ell$について，以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$および2直線$x=0,\ x=1$とで囲まれた2つの部分の面積の和$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)曲線$C$と2直線$x=0,\ y=0$とで囲まれ，接線$\ell$の上側にある2つの部分の面積の和$T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$f(x)=\{ x^2+(2-e)x+1 \} e^x$とする．ここで$e$は自然対数の底である．

(1)関数$f(x)$の極大値を求めよ．
(2)上で求めた極大値を$b$として，曲線$y=f(x)$と直線$y=b$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$f(\theta)=\cos 2\theta + 2\cos \theta,\ g(\theta)=\sin 2\theta+2\sin \theta$とする．

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲において，関数$f(\theta),\ g(\theta)$の増減を調べよ．
(2)$xy$平面上の曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (-\pi \leqq \theta \leqq \pi)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

3次関数
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．

(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．

関数$f(x)=(4x^3-5x)e^{-x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，原点を通り，かつ傾きが正のものを求めよ．
(3)(2)で求めた接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる2つの部分の面積の和を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，関数$f(x)$，$g(x)$を$f(x)=a(e^x+e^{-x})$，$g(x)=4x+b$とする．曲線$C:y=f(x)$の点$(\log 3,\ f(\log 3))$における接線が直線$\ell:y=g(x)$と一致するとき，次に答えよ．ただし，対数は自然対数を表し，$e$は自然対数の底とする．また，$\log 3 < 1.1$を用いてよい．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

3次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が$x=\alpha$で極大値を，$x=\beta$で極小値を持ち，$f(\alpha)-f(\beta)=4$とする．

\mon[(i)] $\beta-\alpha$を$a,\ b$の式で表せ．
\mon[(ii)] $a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)曲線$y=f(x)$に点$(0,\ 8)$から引いた接線の本数がちょうど2本あるとする．

\mon[(i)] $x=t$における接線の方程式を求めよ．
\mon[(ii)] $a$の値を求めよ．

(3)(1)，(2)がともに成り立つとき，2本の接線をそれぞれ求めよ．
(4)(3)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

$f(x)=x^3-3x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(2,\ 2)$を通るものの方程式をすべて求めよ．
(3)点$(2,\ t)$から曲線$y=f(x)$に3本の接線が引けるとき，$t$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=2\sin x \cos x - \tan x+2x$について，次の問いに答えよ．

(1)区間$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$における$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{6},\ x=\frac{\pi}{3}$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．

$\displaystyle I_1=\int_0^3 \sqrt{x^2+9} \, dx, I_2=\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$とする．

(1)次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a,\ b$の値を定めなさい．
\[ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}=a\sqrt{x^2+9}+\frac{b}{\sqrt{x^2+9}} \]
(2)$I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．
(3)$\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．
(4)曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．