$a_1$を$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_1 < \frac{\pi}{4}$を満たす数とし，$\{a_n\}$を
\[ a_{n+1} = 1-\sin \;a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1-x$と曲線$y=\sin x$は，$\displaystyle \frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{4}$の範囲でただ1つの交点をもつことを示せ．
(2)$n$を自然数とするとき，不等式$\displaystyle \frac{\pi}{12} < a_n < \frac{\pi}{4}$を示せ．
(3)(1)の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が成り立つことを示せ．

曲線$C : y = |x^2-2x|$と傾きが$m$の直線$\ell: y = mx$ついて，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2 +2x$と$\ell$が接する$m$の値を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が原点以外の相異なる2点で交わるような$m$の範囲を求めよ．また，そのときの2つの交点の座標を$m$を用いて表せ．
(3)$m$は(2)で求めた範囲にあるとする．$x \geqq 2,\ y \leqq mx,\ y \geqq |x^2-2x|$で定まる部分の面積$S$を$m$を用いて表せ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} f(x)$とおく．正の実数$t$に対して，曲線$y=f(x)$，3直線$x=t,\ x=0$および$y=\alpha$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S(t)$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x+2} \ (x>-2)$を考える．曲線$C$上の点P$_1 \displaystyle (0,\ \frac{1}{2})$における接線を$\ell_1$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点をQ$_1$，点Q$_1$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_2$とおく．以下同様に，自然数$n \ (n \geqq 2)$に対して，点P$_n$における接線を$\ell_n$とし，$\ell_n$と$x$軸との交点をQ$_n$，点Q$_n$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_{n+1}$とおく．

(1)$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\ell_n$，$x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

$xy$平面上の点$(a,\ b)$から曲線$y = x^3-2x$に接線をひく．点$(a,\ b)$からの接線が3本ひけるときの$a,\ b$についての条件を求め，点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．

曲線$C:y=\log x \ (x>0)$を考える．自然数$n$に対して，曲線$C$上に点P$(e^n,\ n)$，Q$(e^{2n},\ 2n)$をとり，$x$軸上に点A$(e^n,\ 0)$，B$(e^{2n},\ 0)$をとる．四角形APQBを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(n)$とする．また，線分PQと曲線$C$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$S(n)$とする．

(1)$V(n)$を$n$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S(n)}{V(n)}$を求めよ．

$-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$で定義される2つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2} \nonumber \\
& & g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2} \nonumber
\end{eqnarray}
に対し，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$と$g(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

媒介変数$t \ (0 < t \leqq \pi)$を用いて
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=\sin t \\
\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される$xy$平面上の曲線を$C_1$，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x=\cos \theta \sin t-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \sin 2t \\　\\
\displaystyle y=\sin \theta \sin t+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される曲線を$C_2$とする．ここで，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$xy$平面上に$C_1$の概形を描け．
(2)直線$y=-\sqrt{3}x+k$が，$C_1$と少なくとも1点を共有するための実数$k$の条件を求めよ．
(3)直線$y=(\tan \theta)x+l$が，$C_2$と少なくとも1点を共有するための実数$l$の条件を求めよ．
(4)$C_1$が囲む領域の面積を求めよ．

$n,\ r$は$n \geqq r$を満たす正の整数であるとし，$x,\ y$ともに$0$以上$n$以下の整数であるような座標平面上の点$(x,\ y)$の集合を$S$とする．また，曲線$x^2+y^2=r^2 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，$x$軸，$y$軸によって囲まれる領域(境界を含む)を$D$とする．ここで，$S$からランダムに$1$点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=10,\ r=5$のとき，選ばれた点が$D$内にある確率はいくらか．
(2)$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す記号である．直線$x=t$上の点で$D$に含まれる$S$の要素の個数をこの記号を用いて表せ．ここで，$t$は0以上$r$以下の整数とする．
(3)$r=n$とし，選ばれた点が$D$内に含まれる確率を$P(n)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(n)$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+\sin x)\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．

(1)$f(x)$の増減と極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$x$軸および$2$直線$x=0,\ x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．