$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$とする．曲線$C:y=x^2$上の$2$点$\mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{4} \right)$と$\mathrm{Q}(a,\ a^2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線と直交する直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点が$C$上にあるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell,\ m$と曲線$C$で囲まれた図形のうちで$y$軸の右側の部分の面積を求めよ．

関数$f(x) = x^3+3x^2+x-1$を考える．曲線$C:y=f(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t \geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれP$(p,\ f(p))$，Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$)．このとき，点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$2$点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．

(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

$a$を正の定数とし，座標平面上の$2$曲線$C_1:y=e^{x^2},\ C_2:y=ax^2$を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t}=+\infty$であることを用いてもよい．

(1)$t>0$の範囲で，関数$\displaystyle f(t)=\frac{e^t}{t}$の最小値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1,\ C_2$の共有点の個数が$2$のとき，これらの$2$曲線で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$xy$平面上に曲線$C:y=x^2-x$と直線$\ell:y=x$がある．

(1)$\ell$上の点$\mathrm{P} \displaystyle \left( \frac{t}{\sqrt{2}},\ \frac{t}{\sqrt{2}}\right) (0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2})$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．$m$と$C$の共有点のうち，$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$t$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた部分を$\ell$を軸として$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

座標平面内の曲線$y=x^2$上の2点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$と$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を両端にもつ長さ$r>0$の線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{C}(s,\ t)$とする．また$a=x_1-x_2,\ b=x_1+x_2$とおく．このとき下記の設問に答えなさい．

(1)$r^2$を$a$と$b$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点$\mathrm{C}$の$y$座標$t$を$b$と$r$を用いて表しなさい．
(3)$0<r<1$とする．このとき$t$は$b=0$のとき最小値$\displaystyle \frac{r^2}{4}$をとることを示しなさい．
(4)$r \geqq 1$の場合，$t$の最小値を$r$を用いて表しなさい．

$xy$平面上の点$(a,\ b)$から曲線$y=x^3-2x$に接線をひく．点$(a,\ b)$からの接線が3本ひけるときの$a,\ b$についての条件を求め，点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分
\[ \int x^2\cos (a\log x) \, dx \]
を求めよ．ただし，$a$は0でない定数とする．
(2)曲線$y=x\cos (\log x)$と$x$軸，および$2$直線$\displaystyle x=1,\ x=e^{\frac{\pi}{4}}$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$がある．$C$上の点$\mathrm{P} \displaystyle (t,\ \frac{1}{2}t^2) (t \neq 1)$における接線を，$\mathrm{P}$を中心として反時計回りに$45^\circ$回転して得られる直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

$x>0$に対して$\displaystyle f(x) =\int_x^{x+1} \log t \, dt$とおき，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし$\displaystyle \lim_{x \to +0} x \log x = 0$を使ってよい．

(1)$f(x)$と$f^\prime (x)$をそれぞれ求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$k \geqq 0$を定数とする．直線$y = k(x+1)$と曲線$C$が共有点をもつための条件を求めよ．