$m$を整数として，二次関数$f(x)=x^2+mx+3$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$の解がすべて整数となる$2$個の$m$の値$m_1,\ m_2$を求めよ．
(2)$g(x)=\min (x^2+m_1x+3,\ x^2+m_2x+3)$としたとき，$x$軸と曲線$y=g(x)$によって囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$\min (a,\ b)$は$a,\ b$のうち大きくない方の値を表す．

曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}$（ただし，$x \leqq 0$）上に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( a,\ \frac{a^2}{2} \right)$を，曲線$y=x^2$（ただし，$x \geqq 0$）上に点$\mathrm{Q}(b,\ b^2)$をとる．$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\theta=\angle \mathrm{PRQ}$とする．$2b-a=4$のとき，次の問いに答えよ．

(1)$\theta$を直角にする$a$の値を求めよ．
(2)$\theta$が直角でないとき，$\tan \theta$を$a$で表せ．
(3)$\theta$が最大および最小となる$a$の値をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x \log x-\tan x$について，曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．

(2)定積分$\displaystyle A=\int_0^\pi e^{-ax} \cos 2x \, dx$を求めよ．ただし，$a \neq 0$とする．

(3)定積分$\displaystyle B=\int_0^\pi e^{-ax} \sin^2 x \, dx$，$\displaystyle C=\int_0^\pi e^{-ax} \cos^2 x \, dx$を求めよ．ただし，$a \neq 0$とする．

$k$を$0<k<1$の範囲の定数とする．直線$\ell:y=kx$と曲線$C:y=|x^2-2x|$について以下の各問に答えよ．

(1)直線$\ell$と曲線$C$の交点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を求めよ．ただし，$0<x_1<x_2$とする．
(2)原点を$\mathrm{O}$として，線分$\mathrm{OP}_1$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_1$，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1$と$S_2$をそれぞれ$k$の関数で表せ．
(3)$S=S_1+S_2$とする．このとき，$S$が最小となる$k$の値を求めよ．

$a>0$のとき，曲線$y=|x^2-3x|$と直線$y=x+a$について，次の問いに答えなさい．

(1)曲線と直線を図示し，曲線と直線の共有点が$2$点となるように$a$の条件を求めなさい．
(2)$a=2$のとき，曲線と直線によって囲まれた面積を計算しなさい．

関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$（$x$は実数）について，以下の問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の接線のうち，点$(0,\ 3)$を通るものすべての方程式を求めよ．また，その求め方を説明せよ．
(2)点$(1,\ 3)$を通る傾き$a$の直線と曲線$y=f(x)$が$3$点で交わるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．また，その求め方を説明せよ．

座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$と曲線$C:y=x \sqrt{x}$を考える（ただし$x \geqq 0$とする）．曲線$C$上の点のうち，点$\mathrm{A}$までの距離が最小となるような点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．

曲線$7x^2+2 \sqrt{3}xy+9y^2=30$上の点$(x,\ y)$に対して，変換
\[ \left\{ \begin{array}{l}
X=x \cos \theta-y \sin \theta \\
Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を考える（ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする）．このとき$X,\ Y$のみたす式は
\[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \]
となる．ただし，$a(\theta)$，$b(\theta)$，$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする．

(1)$\theta_1$を求めよ．
(2)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．

関数$f(x)$を，
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
2x+1 & \displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \\
2x+\sin x & \displaystyle \left( x \geqq \frac{\pi}{2} \right) \phantom{\frac{[ア]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定め，関数$g(x)$を，$g(x)=f(2x)-2f(x) (0 \leqq x \leqq 2\pi)$と定める．

(1)関数$g(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C:y=g(x)$の概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(3)区間$[0,\ 2\pi]$で，曲線$C$と$x$軸の間にある部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．