$a$を正の実数とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を定点とし，点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$を放物線$C:y=x^2$上の点とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AP}$と放物線$C$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$での$C$の接線$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PR}$，線分$\mathrm{RS}$，線分$\mathrm{SQ}$および放物線$C$の一部である曲線$\mathrm{PQ}$によって囲まれる部分の面積$T(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$T(a)$の最小値を求めよ．

曲線$y=e^{2x}$を$C$とする．$C$の接線で原点を通るものを$\ell_1$とし，$C$と$\ell_1$の接点$\mathrm{P}$における$C$の法線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_1$の方程式，および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)直線$\ell_2$の方程式，および直線$\ell_2$と$y$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)次の問いに答えよ．

(i) 部分積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$，$\displaystyle \int (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(ii) 曲線$C$，直線$\ell_2$および$y$軸で囲まれる領域を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

$a$を正の定数とする．曲線$y=|e^{-ax|\sin ax} (x \geqq 0)$において，極大となる点を$x$座標の小さい方から順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$を通り，$y$軸に平行な直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とする．$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$および原点を頂点とする三角形の面積を$S_n$とする．

(1)$\mathrm{P}_n$の座標を$a,\ n$を用いて表せ．
(2)$S_n$を$a,\ n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{S_{n+1}}$の値を求めよ．

座標平面の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲において，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\sin 2x$の交点の座標を$(a,\ b)$とし，$2$つの曲線$y=\cos x$と$y=\tan x$の交点の座標を$(c,\ d)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$および$d^2$の値を求めよ．
(2)$c>a$であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4},\quad \cos x \leqq y \leqq \sin 2x,\quad y \geqq \tan x \]
の表す領域を図示し，その領域の面積を求めよ．

$2$つの曲線$C_1:y=\log x$および$C_2:y=\sqrt{ax}$を考える．ただし，$a$は正の定数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$(t,\ \log t)$における接線$\ell_1$の方程式，および曲線$C_2$上の点$(s,\ \sqrt{as})$における接線$\ell_2$の方程式を求めよ．ただし，$t>0,\ s>0$である．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の両方に接する直線が存在しないための$a$の値の範囲を求めよ．

$g(x)=\sin^3 x$とおき，$0<\theta<\pi$とする．$x$の$2$次関数$y=h(x)$のグラフは原点を頂点とし，$h(\theta)=g(\theta)$を満たすとする．このとき，曲線$y=g(x) (0 \leqq x \leqq \theta)$と直線$x=\theta$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$G(\theta)$とおく．また，曲線$y=h(x)$と直線$x=\theta$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$H(\theta)$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$H(\theta)$を求めよ．

(2)$\displaystyle G(\theta)=\frac{1}{3}(1-\cos \theta)^2(2+\cos \theta)$を証明せよ．

(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{G(\theta)}{H(\theta)}$を求めよ．

曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \sin \theta)$における曲線の接線$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{K}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸へ下した垂線$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

(1)接線$\ell_1$を$y=Ax+B$とおくとき，$A$と$B$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PKH}$の面積$S$を$\cos \theta$を用いて表せ．
(3)$S=1$となる$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．また，曲線$y=\sin x$と二つの線分$\mathrm{OH}$，$\mathrm{PH}$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S:T=3:2$となる$\theta$の値を求めよ．

$2$次関数$\displaystyle y=\sqrt{2}x^2-\frac{\sqrt{2}}{4}$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)相異なる実数$s,\ t$に対し，$C$上の点$\displaystyle \left( s,\ \sqrt{2}s^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$，$\displaystyle \left( t,\ \sqrt{2}t^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$における$C$の法線をそれぞれ$\ell_s,\ \ell_t$で表す．$\ell_s$と$\ell_t$の交点の座標を求めよ．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線のことである．
(2)$t$を固定して$s$を$t$に近づけるとき，(1)で求めた交点の$x$座標と$y$座標が近づく値をそれぞれ$f(t)$，$g(t)$で表す．このとき，$f(t)$，$g(t)$を求めよ．
(3)(2)で求めた$f(t)$，$g(t)$を，実数全体で定義された$t$の関数とみなして，
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \]
によって媒介変数表示される曲線を$D$とする．このとき，$C$と$D$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

(1)$\log x$の不定積分，および$(\log x)^2$の不定積分を求めなさい．
(2)曲線$y=\log x$上の点$(e^2,\ 2)$における接線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)曲線$y=\log x$と$(2)$で求めた接線$\ell$，および$x$軸で囲まれた図形を$S$とする．$S$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．

$0 \leqq a<1$とする．$xy$平面上の曲線$C$を$y=1+x \sqrt{1-x^2}$で，直線$\ell$を$y=1+ax$で定める．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$の関数と考えて$V(a)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，不等式$2x \sqrt{1-x^2} \geqq x$を解け．
(2)$V(a)$を$a$を用いて多項式で表せ．
(3)$\displaystyle M_n=\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n V \left( \frac{k}{2n} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}M_n$を求めよ．