関数$f(x)=\sin x(1+\cos x) (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

$f(x)=-x^2+4x$とする．$a>3$のとき，点$(1,\ a)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q)) (p<q)$とし，点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$を通る接線を$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell_1$の傾きを$a$を用いて表せ．
(2)$2$本の接線$\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，曲線$y=f(x)$と接線$\ell_2$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$y=-(x-1)(x+1)^2$を$C$とし，曲線$C$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{A}$，$x$軸と交わる点のうち接点でない方を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C$上にあって，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間を動く点とし，その$x$座標を$t$とおく．また，原点を$\mathrm{O}$とおく．

(1)四角形$\mathrm{OBPA}$の面積を$t$の式で表せ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{AP}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$，曲線$C$と線分$\mathrm{PB}$とで囲まれた図形の面積を$S_2$とする．面積の和$S_1+S_2$を最小にする$t$の値を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C_1:y=x \sin x$と，傾き$m$の直線$C_2:y=mx$について，次の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ a \sin a)$における$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$0<x<\pi$の範囲で接する$m$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき，$C_1$を$0 \leqq x \leqq \pi$に制限した曲線と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$(3)$で得られた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=\log (1-x^2)$上のある点における接線の傾きが$-\sqrt{3}$のとき，その点の$x$座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{a}=(3^x,\ 3^{-x})$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，$x$の値を求めなさい．
(3)方程式$\displaystyle \cos \left( x+\frac{\pi}{6} \right)+\sin x=0$を解きなさい．

関数$f(x)=e^x-x$を考える．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=1$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$1+2 \sin x<x+e^x$が成り立つことを示せ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にあって，$2$つの曲線$y=1+2 \sin x,\ y=x+e^x$と直線$x=\pi$とで囲まれる領域を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

曲線$y=x^3-(3a+2)x^2-3a^2-4a+4$が放物線$y=x^2$と相異なる$3$点で交わるための実数$a$の値の範囲を求めよ．

$xy$平面上に$2$曲線
\[ C_1:y=2x \sqrt{1-x^2},\quad C_2:y=\sqrt{1-x^2} \]
がある．$C_1$，$C_2$上に$2$点$\mathrm{P}_1(t,\ 2t \sqrt{1-t^2})$，$\mathrm{P}_2 (t,\ \sqrt{1-t^2}) (-1<t<1)$をとり，$\mathrm{P}_1$における$C_1$の接線$\ell_t$と，$\mathrm{P}_2$における$C_2$の接線$m_t$について考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け．ただし，曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい．また，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を，$t$についての$2$次方程式で表し，その解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$を求めよ．
(3)$\ell_t$と$m_t$が交点をもつとき，その交点の$y$座標を$y_t$とする．

(i) $y_t$を$t$を用いて表せ．
(ii) $y_t>0$となる$t$の値の範囲を$(2)$で求めた$\alpha,\ \beta$を用いて表し，この範囲における$y_t$の最小値を求めよ．

座標平面において次の$2$つの$2$次曲線を考える．

(1)原点$\mathrm{O}$と直線$x=-2$からの距離が等しい点の軌跡の方程式は
\[ y^2=[ア](x+[イ]) \]
である．
(2)$2$直線$\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$，$\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$を漸近線にもち，$2$つの焦点の座標が$(-2,\ 0)$，$(8,\ 0)$である双曲線の方程式は
\[ \frac{(x-[ウ])^2}{[エ][オ]}-\frac{y^2}{[カ]}=1 \]
である．
(3)$(1)$と$(2)$の$2$つの曲線の共有点は$[キ]$個ある．