$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$であり，$x^3-5x^2+7x-2=[イ]$である．
(2)定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき，$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している．現在の価格が$1000$円であるならば，$3$年後の価格は$[オ]$円となり，価格がはじめて$200$円を下回るのは$[カ]$年後である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，解答欄には整数値を入れよ．
(4)曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している．また，曲線$y=x^2+ax+1 (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している．このとき，$a=[キ]$であり，$\ell$の方程式は$[ク]$である．
(5)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき，$f(x)=[ケ]$，$a=[コ]$である．

平面上に曲線$C_1:y=|x^2-2|$と円$C_2$がある．$C_1$と$C_2$は，点$\mathrm{A}(a,\ a^2-2)$で共通の接線$\ell$を持ち，点$\mathrm{B}(0,\ 2)$でも共通の接線を持つ．ただし，$a>2$とする．

(1)$C_1$を図示せよ．
(2)$C_1$と$\ell$が$\mathrm{A}$で接することを利用して，$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$を通り$\ell$に直交する直線の方程式を$a$を用いて表せ．
(4)$C_2$の方程式を求めよ．

曲線$C:y=x^2-4x+7$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2-4a+7)$における$C$の接線を$\ell_1$とする．また，$C$と$y$軸および$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$\ell_1$の方程式を$a$で表せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a=3$とする．正の$y$切片を持ち，$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$，$\ell_2$および$y$軸で囲まれた三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}S$であるとき，$\ell_2$の方程式を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$1$より大きい実数$a$が$\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}=18$を満たすとき，$\displaystyle a+\frac {1}{a}$の値は$\displaystyle a+\frac {1}{a}=[ア]$であり，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}$の値は$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$である．
(2)$0<\theta<\pi$とする．方程式$\sin \theta=\sin 2\theta$を解くと$\theta=[ウ]$であり，方程式$\sin \theta+\sin 2\theta=\sin 3\theta$を解くと$\theta=[エ]$である．
(3)$a>\sqrt{2}$のとき，$x$の不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{a^2-1} \right)^x<a^4-2a^2+1$を解くと$[オ]$である．また，不等式$(y-1)(\log_23-\log_32^y)>0$を解くと$[カ]$である．
(4)実数$a$に対し，曲線$\displaystyle C:y=x^2+ax+\frac{3}{2}$と直線$\ell:y=2x+1$を考える．$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．また，$0<x<1$において$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)実数$a$に対して，$2$つの関数
\[ f(x)=x^2+4ax+8,\quad g(x)=-x^2+(2a-2)x-10 \]
を考える．このとき，$g(x) \geqq f(x)$となる$x$が存在するような$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値が$g(x)$の最大値より大きくなるような$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$x=\sin \theta+\cos \theta$のとりうる値の範囲は$[ウ]$であり，$y=\sin 2\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)$のとりうる値の範囲は$[エ]$である．
(3)以下の$4$つの数のうち，$1$番大きな数は$[オ]$であり，$1$番小さな数は$[カ]$である．
\[ 7^{777},\quad 10^{7 \log_{10}7},\quad 7^{(7^7)},\quad 7777777 \]
(4)$r$を正の実数とする．円$x^2+(y-1)^2=r^2$と曲線$y=x^2$が$x>0$の範囲に異なる$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつような$r$の値の範囲は$[キ]$である．さらに，この$r$の範囲で$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$が成り立つ$r$の値は$r=[ク]$である．

$2$つの$2$次曲線$C_1:y=x^2$，$C_2:y^2=x$がある．次の各問に答えよ．

(1)$C_1$，$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$，$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ．
(5)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．いま，その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち，$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ．

$k$を実数とする．関数$f(x)=(k-\cos x)(k-\sin x) (0 \leqq x \leqq \pi)$が$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で極値をとるとする．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は実数の定数）について，次の問に答えよ．

(1)$a$は$a>-3$を満たし，$f(x)$は$x=1$のとき極小値をとる．このとき，$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$のとき，さらに，$y=f(x)$のグラフが点$(0,\ 0)$に関して対称であるとする．このとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフは，曲線上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -\frac{a}{3},\ f \left( -\frac{a}{3} \right) \right)$に関して対称であることを示せ．

$a>0$とする．曲線$C:y=a \sqrt{x}-\log x (x>0)$が$x$軸に接するとするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x(\log x)^2 (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線$y=f(x)$と変曲点における接線，および直線$x=1$によって囲まれる部分の面積を求めよ．