半径$1$の円と長さ$2$の線分がある．この線分の一方の端点を，円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える．線分の端点で，円の中心とは異なるものを$\mathrm{P}$とする．この図形を下の図$1$のように$xy$平面上に置く．すなわち，中心が点$(0,\ 1)$，$\mathrm{P}$が点$(0,\ -1)$と一致するように置く．次に，$x$軸上で正の方向に，すべらないように円を半回転させる．下の図$2$は円が$\theta$だけ回転したときの状態を表している．$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$について考察する．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$上にあって，$x$座標が最小となる点，最大となる点，$y$座標が最小となる点，最大となる点について，それぞれの座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標平面上の曲線$K$を$y=x^3-x+1$とする．

(1)点$(t,\ t^3-t+1)$における$K$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)点$(1,\ 5)$を通る直線$\ell$が$K$と接するとき，接点の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と$K$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

関数$f(x)$が次のように与えられているとする．
\[ f(x)=\frac{1}{4}(1-x^2)^2-\theta x \]
ただし$\theta$は実数とする．以下の問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{4} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$(1)$で求めた接線によって囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)関数$f(x)$が極大値をもつときの$\theta$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)異なる$2$点$(-3,\ -3)$，$(a,\ b)$を通る直線の方程式を求めよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(2)媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=2 \cos t \\
y=-\sin^2 t
\end{array} \right.$で表される曲線の概形をかけ．
(3)関数$\displaystyle f(t)=\frac{-\sin^2 t+3}{2\cos t+3}$の最大値および最小値を求めよ．

$3$次関数$f(x)$は$x=1$と$x=3$で極値をとり，曲線$y=f(x)$は点$(0,\ 1)$と点$(1,\ 3)$を通るとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$に接し，原点$(0,\ 0)$を通る直線の本数を求めよ．

曲線$C:y=xe^{-x^2}$上の点$(t,\ te^{-t^2})$における接線を$\ell$とする．$t>1$の範囲で$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を最小にするような$t$を$t_0$とし，そのときの$\ell$を$\ell_0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$t_0$を求めよ．
(2)$0<x<t_0$の範囲で$C$は上に凸であることを示せ．
(3)$C$と$\ell_0$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a,\ b$を正の定数とする．曲線$y=e^{-ax}\sin bx \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

実数$t$の関数$\alpha(t),\ \beta(t)$を$\displaystyle \alpha(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$，$\displaystyle \beta(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$で定める．実数の定数$p$に対して点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$x$座標および$y$座標を，複素数
\[ z=\frac{ip \alpha(t)+\beta(t)}{ip \beta(t)+\alpha(t)} \]
の実部および虚部でそれぞれ与える．ただし$i$は虚数単位とする．

(1)$\{\alpha(t)\}^2-\{\beta(t)\}^2=1$となることを示し，$x,\ y$を$t$の関数として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t \to \infty$および$t \to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ．
(3)$p \neq 0$のとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ．

$\displaystyle I=\int e^{-x}\sin x \, dx,\ J=\int e^{-x}\cos x \, dx$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)次の関係式が成り立つことを証明せよ．
\[ I=J-e^{-x}\sin x,\quad J=-I-e^{-x}\cos x \]
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)曲線$y=e^{-x}\sin x \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$i$を虚数単位とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1-\sqrt{2}i$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフの軸と頂点を求め，そのグラフをかけ．
(3)曲線$y=x^2+ax+b$と直線$y=3$とで囲まれた部分の面積を求めよ．