$x>0$の範囲で関数$f(x)$を，$\displaystyle f(x)=\int_0^2 (|t^2-2xt|+xt) \, dt$により定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<x \leqq 1$のとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=4x+k$が異なる$2$点で交わるように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$m,\ n$を自然数とするとき，次の不定積分を計算せよ．
\[ \int \cos mx \cos nx \, dx \]
(2)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と，直線$y=x$により囲まれる図形の面積を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=x \sin x$とおく．また，曲線$y=f(x)$上の点$(\alpha,\ f(\alpha))$における接線の方程式を$y=g(x)$とおく．$\alpha>0$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$g(x)$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)直線$y=g(x)$が原点を通るような最小の$\alpha$を$\alpha_1$とし，$\alpha=\alpha_1$のときの$g(x)$を$h(x)$とおく．$\alpha_1$の値と$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において$h(x) \geqq f(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq \alpha_1$において直線$y=h(x)$と曲線$y=f(x)$で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

$xy$平面において，曲線$\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$と$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}$の原点以外の交点を$\mathrm{P}$とする．また，この$2$つの曲線で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$D$の面積を求めなさい．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)異なる$2$点$(-3,\ -3)$，$(a,\ b)$を通る直線の方程式を求めよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(2)媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=2 \cos t \\
y=-\sin^2 t
\end{array} \right.$で表される曲線の概形をかけ．
(3)関数$\displaystyle f(t)=\frac{-\sin^2 t+3}{2\cos t+3}$の最大値および最小値を求めよ．

$A$を$2$次正方行列とする．座標平面上の点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$が，$A$の表す移動により$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，$A^2$の表す移動により$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に移るとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$を求めよ．
(2)$\displaystyle B=\frac{1}{2}A^3$とする．$B$の表す移動によって，点$\mathrm{P}_1$が移る点を$\mathrm{P}_2$と定め，点$\mathrm{P}_2$が移る点を$\mathrm{P}_3$と定める．以下同様にして$B$の表す移動によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n$と定める．このとき，点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(3)(2)で定めた点$\mathrm{P}_n$から曲線$y=x^2$に引いた接線で，$x$軸に平行でないものの傾きを$a_n$とおく．このとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において，曲線$C_1:y=\sin 2x$と曲線$C_2:y=\cos x$の交点の$x$座標を$a,\ b,\ c \ (a<b<c)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)交点$(b,\ \sin 2b)$における$2$つの曲線$C_1$と$C_2$のそれぞれの接線は垂直ではないことを示せ．
(3)$a \leqq x \leqq b$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$b \leqq x \leqq c$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$2$つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．
(4)曲線$C_1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$-1<x<1$で定義される関数$f(x)=2x+\sqrt{5-5x^2}$について，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$は上に凸であることを示し，$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点のうち，原点$\mathrm{O}$との距離が最大となる点を$\mathrm{A}$，最小となる点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)(2)で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，線分$\mathrm{OA}$，線分$\mathrm{OB}$，および曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点，接線$\ell$と$y$軸の交点の座標をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$C$，接線$\ell$，$y$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$0 \leqq t \leqq 1$とする．このとき，$S(t)$の最大値およびそのときの$t$の値，$S(t)$の最小値およびそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$の増減およびグラフの凹凸を調べよ．また，$y$の最大値およびそのときの$x$の値，$y$の最小値およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$と$y=-x+2+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$によって囲まれた図形$D$を座標平面上に描け．なお，$D$の境界が座標軸との共有点をもつならば，その座標も記入せよ．
(3)上の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．